Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải

Hàm đa thức bậc ba có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }},\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} + {\rm{ }}6{\rm{ }} > {\rm{ }}0 \,\,\forall x \in R\) nên phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y’\) đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.