Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các phương trình:

a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)                     

b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\) 

c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)                            

d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\) 

e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)              

f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)

Hướng dẫn giải

Đưa phương trình đã cho về dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Sau đó sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết

a)

\(\eqalign{
& 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr
& \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\)

Phương trình có \(a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0\) nên có 2 nghiệm \({x_1}= -1; {x_2}= 2\)

b)

\(\eqalign{
& {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr
& \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr
& \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr} \)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6}\)

c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)  ĐKXĐ: \(x ≠ 0; x ≠ 2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr
& \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr
& \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} (TM) \cr
& {x_2} = - 1 - \sqrt {11} (TM) \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1 + \sqrt {11},{x_2} = - 1 - \sqrt {11}\)

d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne  \pm {1 \over 3}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr
& \Leftrightarrow \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) = 14{\rm{x}} + 4 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr
& \Delta = {( - 13)^2} - 4.6.( - 5) = 289 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}(TM) \cr
& {x_2} = - {1 \over 3}(loại) \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: \({x_1} = {5 \over 2}\)

e)

\(\begin{array}{l}
2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\
\Delta  = 3 - 2\sqrt 3  + 1 - 8\sqrt 3  + 24\\
 = 28 - 10\sqrt 3 \\
 = {5^2} - 2.5.\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\\
 = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{\sqrt 3  - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\
{x_2} = \frac{{\sqrt 3  - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

f)

\(\eqalign{
& {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr
& \sqrt \Delta = 1 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.