Bài 51 trang 87 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho \(I, \, O\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) với \(\widehat{A} = 60^0.\) Gọi \(H\) là giao điểm của các đường cao \(BB'\) và \(CC'.\)

Chứng minh các điểm \(B,\, C,\, O,\, H,\, I\) cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha\, \, (0^0 < \alpha < 90^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} =  2.60^0= 120^0\)  (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung \(BC\)).                (1)

và \(\widehat{BHC} = \widehat{B'HC'}\) (hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat{B'HC'}= 180^0 - \widehat{A}= 180^0- 60^0 = 120^0.\)

\(\Rightarrow \widehat{BHC} = 120^0.\)           (2)  

Ta có: \(\widehat{BIC}= \widehat{A} + \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\) (Tổng 3 góc trong một tam giác)

\(= 60^0+ \frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2} = 60^0+ 60^0.\) (sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó \(\widehat{BIC} = 120^0.\)

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm \(O, \, H, \, I\) cùng nằm trên các cung chứa góc \(120^0\) dựng trên đoạn thẳng \(BC.\) Nói cách khác, năm điểm \(B,\, C,\, O,\, H,\, I\) cùng thuộc một đường tròn.