Bài 40 trang 83 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Qua điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\), vẽ tiếp tuyến \(SA\) và cát tuyến \(SBC\) của đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt dây \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh \(SA = SD.\)

Hướng dẫn giải

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat{ADS}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(AB\) và \(CD.\)

\(\Rightarrow \widehat {ADS}=\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CE}}{2}.\) 

\(\widehat{SAD}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AE.\)

\(\Rightarrow \widehat {SAD}=\frac{1}{2} sđ\overparen{AE}.\) 

Có: \(\widehat {BAE} = \widehat {EAC} (gt)\) \(\Rightarrow \) \(\overparen{BE}=\overparen{EC}\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

\(\Rightarrow\) \(sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{EC} = sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{BE}=sđ\overparen{AE}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\)\(\Rightarrow\) tam giác \(SDA\) cân tại \(S\) hay \(SA=SD\).