Bài 42 trang 83 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\).

a) Chứng minh \(AP \bot QR.\)

b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\). 

 \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\) và \(QP\) nên:  \( \widehat{AKR}=\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0.\)

Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)

b) \(\widehat{CIP}\)  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\)  và \(CP\) nên: \(\widehat{CIP}=\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\)    (1)

\(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp chắn cung \(PR\), nên \(\widehat {PCI}=\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\)    (2) 

Theo giả thiết thì cung \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\)  (3)

Cung \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\)        (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân.