Bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số: \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\)

a) Giải phương trình \(f’(sin x) = 0\)

b) Giải phương trình \(f’’(cos x) = 0\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\).

Hướng dẫn giải

+) Tính đạo hàm \(f'(x)\) và \(f''(x).\)

a) Thay \(x=sin x\) vào phương trình \(f'(x) =0\) để giải phương trình lượng giác tìm nghiệm \(x.\)

b) Thay \(x=cos x\) vào phương trình \(f''(x) =0\) để giải phương trình lượng giác tìm nghiệm \(x.\)

c) Giải phương trình \(f''(x)=0\) để tìm nghiệm \(x_0.\)

+) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết

\(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\)

\( \Rightarrow f’(x) = x^2– x – 4\)

\(\Rightarrow  f’’(x) = 2x – 1\)

a) Ta có: 

\(\eqalign{
& f'(s{\rm{inx}}) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}(1) \cr
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \)

Suy ra (1) vô nghiệm.

b) Ta có: 

\(\eqalign{
& f''(cosx) = 0 \Leftrightarrow 2cosx - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} \)

c) Nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\) là \(x = {1 \over 2}\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& f'({1 \over 2}) = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr
& \Rightarrow  f({1 \over 2}) = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} \)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

 \(y = {{ - 17} \over 4}(x - {1 \over 2}) + {{47} \over {12}} \Leftrightarrow y =  - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}\).