Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) (\(m\) là  tham số).

a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên một tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x.\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow f'(x) \geq 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tính \(f''(x)\) sau đó giải bất phương trình \(f’’(x)>6x.\)

Lời giải chi tiết

a) \(y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1)\\ = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)\)

Hàm số đồng biến trên \(D =\mathbb R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\)

\(⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\)

\(⇔ Δ’  \leq 0 \\  ⇔ m^2– 2m + 1  \leq 0 \\  ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.\)

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

\(⇔\) phương trình \(y’= 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(⇔ \Delta >0 ⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.\)

c) \(f’’(x) = 6x – 6m > 6x\)

\(⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0.\)