Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số  \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2.}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị \((C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0.\)

c) Biện luận theo tham số \(m\) số nghiệm của phương trình: \(x^4- 6x^2+ 3 = m.\)

Hướng dẫn giải

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

b) Giải phương trình \(f''(x)=0\) để tìm \(x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) theo công thức: \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

c) Đưa phương trình về dạng: \({1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. \) Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số y = \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)  \((C)\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)\)

\( \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-\sqrt3)\) và \((0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \((-\sqrt 3;0)\) và \((\sqrt3;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}={3\over 2}\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-\sqrt3\) và \(x=\sqrt3\); \(y_{CT}=y_(\pm\sqrt3)=-3\)

- Giới hạn:

   \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

b) Ta có: \(y’’ = 6x^2– 6\)

\( \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 ⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.\)

Có \(y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((-1, -1)\) là : \(y = 4(x+1) – 1= 4x+3.\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((1, -1)\) là: \(y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.\)

c) Ta có: \({x^4} - 6{x^2} + 3 = m \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \((C)\) và đường thẳng (d) : \(y = {m \over 2}\)

Từ đồ thị ta thấy:

\(\frac{m}{2}

\(\frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6\) : (1) có 2 nghiệm.

\(-3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3\): (1) có 4 nghiệm.

\(\frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3\): ( 1) có 3 nghiệm.

\(\frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3\): (1) có 2 nghiệm.