Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là \((C_m)\), \(m\) là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\)

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\)

- Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\)

c) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Hướng dẫn giải

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

b) Hàm số đồng biến trên \( (a; \, b)  \Leftrightarrow y' \ge 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\) 

+) Hàm số đồng biến trên \( (a; \, b)  \Leftrightarrow y' \le 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\) 

c) Đồ thị hàm số \((C_m)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow y=f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Lời giải chi tiết

\(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) \((C_m)\). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) Với \(m = 1\) ta có hàm số: \(y = 2x^2+ 2x.\)

Tập xác định \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y'=4x+2.\)
\(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow  4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -{{  1} \over 2} \)

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-{1\over2};+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -{1\over2})\)

+) Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-{1\over2}\); \(y_{CT}=-{1\over 2}\)

+) Giới hạn:

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)

Bảng biến thiên:

*Đồ  thị

Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\)

b) Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)

 Có \(y' = 4x + 2m = 0 \Rightarrow y'=0 \)

\(\Leftrightarrow 4x+2m=0 \Leftrightarrow x = -{{  m} \over 2}\)

Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > -{{  m} \over 2};y' < 0\) với \(x < -{{  m} \over 2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ;-{{  m} \over 2})\) và đồng biến trên \((-{{ m} \over 2}; + \infty )\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1;{\rm{ }} + \infty )  \subset  (-{{  m} \over 2}; + \infty )\)

  \( \Leftrightarrow -{{ m} \over 2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x = -{{  m} \over 2}\) .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1; +∞)\), ta phải có:

\(\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr
& \Leftrightarrow -{{  m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \)

c) \((C_m)\) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = -{{ m} \over 2}\)

\(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: \(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m\)

Vậy \((C_m)\) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt.