Bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12

Đề bài

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y= {x^4}-2{x^2} + 2.\)

Hướng dẫn giải

Các quy tắc tìm cực trị của hàm số:

Quy tắc 1:

B1. Tìm tập xác định.

B2. Tính \(f’(x)\). Tìm các điểm tại đó \(f’(x)=0\) hoặc \(f’(x)\) không xác định.

B3. Lập bảng biến thiên.

B4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

B1. Tìm tập xác định.

B2. Tính \(f’(x)\). Giải phương trình  \(f’(x)=0\) và kí hiệu \(x_i \, \, (i=1,\, 2, \, 3, \, …..)\) là các nghiệm của nó.

B3. Tính \(f’’ (x)\) và \(f’’ (x_i).\)

B4. Nếu \(f’’ (x_i) > 0\) thì \(x_i\) là điểm cực tiểu.

Nếu \(f’’ (x_i) < 0\) thì \(x_i\) là điểm cực đại.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số: \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\)

Có đạo hàm là: \(y’ = 4x^3– 4x  \Rightarrow y' = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Đạo hàm cấp hai: \(y’’ = 12x^2 – 4\)

Ta có: \(y’’(0) = -4 < 0 ⇒\) điểm  \(x=0\) là điểm cực đại và \(y_{CĐ}=y(0)=2.\)

\(y’’(-1) = 8 > 0; \,  y’’(1) = 8 > 0\)

\(⇒ x=1\) và \(x=-1\) là các điểm cực tiểu,  \(y_{CT}= y( \pm 1)=1\).