Đề thi HK2 môn Toán lớp 10 THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Năm 2017 - 2018 (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Nếu \(a > b,c > d\) thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A \(ac > bd\)

B \(a - c > b - d\)

C \(a + b > c + d\)

D \(a + c > b + d\)

Câu 2 : Các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m \ge 0\) có nghiệm là :

A \(m \in \mathbb{R}\)

B \(m \in \emptyset \)

C \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

D \(m = - 1\)

Câu 3 : Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\\{x^2} - 8x + 12 < 0\end{array} \right.\) là:

A \(\left[ {2;5} \right]\)

B \(\left[ {1;6} \right]\)

C \(\left( {2;5} \right]\)

D \(\left[ {1;2} \right] \cup \left[ {5;6} \right]\)

Câu 4 : Các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm là :

A \(m \in \emptyset \)

B \(m < - 1\)

C \( - 1 < m < 0\)

D \( - 1 < m \le 0\).

Câu 5 : Khi thống kê điểm môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh thì thấy có 36 bài được điểm bằng 5. Tần suất của giá trị \({x_i} = 5\) là:

A \(2,5\% \)

B \(36\% \)

C \(18\% \)

D \(10\% \)

Câu 6 : Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Giá trị của \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng :

A \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{{2\sqrt 6 }}\)

B \(\sqrt 6 - 3\).

C \(\frac{1}{{\sqrt 6 }} - 3\).

D \(\sqrt 6 - \frac{1}{2}\).

Câu 7 : Nếu \(\sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) thì giá trị của \(\sin 2x\) là:

A \(\frac{1}{2}\)

B \( - \frac{1}{2}\)

C \(\frac{1}{4}\)

D \( - \frac{1}{4}\)

Câu 8 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):3x - 4y + 7 = 0\,\,;\,\,\left( {{d_2}} \right):5x + y + 4 = 0\) và \(\left( {{d_3}} \right):mx + \left( {1 - m} \right)y + 3 = 0\). Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của tham số \(m\) là:

A \(m = 2\)

B \(m = - 2\)

C \(m = 0,5\)

D \(m = - 0,5\)

Câu 9 : Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( { - 2;3} \right)\) và \(B\left( {4; - 1} \right)\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng \(AB ?\)

A \(x + y - 3 = 0\)

B \(y = 2x + 1\)

C \(\frac{{x - 4}}{6} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}}\)

D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Câu 10 : Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Giả sử \(\left( d \right)\) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua điểm \(B.\) Khi đó khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình nào sau đây?

A \(x - y + 1 = 0\)

B \(3x + 4y = 25\)

C \(5x - 2y - 7 = 0\)

D \(2x + 4y - 26 = 0\)

Câu 11 : Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và tạo với đường thẳng có phương trình \(x - 3y + 2 = 0\) một góc bằng \({45^o}\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình là:

A \(2x + y + 1 = 0\)

B \(2x - y = 1\)

C \(x - 2y + 1 = 0\)

D \(3x + y - 4 = 0\)

Câu 12 : Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {3;0} \right)\) và \(B\left( {0;4} \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) có phương trình là:

A \({x^2} + {y^2} = 1\)

B \({x^2} + {y^2} - 4x + 4 = 0\)

C \({x^2} + {y^2} = 2\)

D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Câu 13 : Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(P\left( { - 3; - 2} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 36\). Từ điểm \(P\) kẻ các tiếp tuyến \(PM\) và \(PN\) tới đường tròn \(\left( C \right)\), với \(M\) và \(N\) là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng \(MN\) là:

A \(x + y + 1 = 0\)

B \(x - y - 1 = 0\)

C \(x - y + 1 = 0\)

D \(x + y - 1 = 0\)

Câu 14 : Giải bất phương trình sau trên tập số thực : \(\left| {2x + 1} \right| + 2 \ge 4x\)

A \(S = \left( { - \infty ;\,\frac{3}{2}} \right].\)

B \(S = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right).\)

C \(S = \left( { - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right].\)

D \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right).\)

Câu 15 : Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{2x - 3}} - \frac{x}{{2x - 1}} \le 0\\\sqrt {{x^2} + 3} + 3x < 1\end{array} \right.\)

A \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]\)

B \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)

C \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\)

D \(S = \left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\)

Câu 16 : a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\) khi các biểu thức đều xác định.b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x > 5\\{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0\end{array} \right.\) có nghiệm.

A \(b)\,\,\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 5\end{array} \right.\)

B \(b)\,\, - 1 < m < 5\)

C \(b)\,\,\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\)

D \(b)\,\,1 < m < 5\)

Câu 17 : Tìm tọa độ tâm, bán kính của hai đường tròn và chứng minh hai đường tròn tiếp xúc với nhau.

A \(\begin{array}{l}{I_1}\left( { - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,{R_1} = 3\\{I_2}\left( {2;2} \right)\,\,;\,\,{R_2} = 2\end{array}\)

B \(\begin{array}{l}{I_1}\left( {1;2} \right)\,\,;\,\,{R_1} = 3\\{I_2}\left( { - 2; - 2} \right)\,\,;\,\,{R_2} = 2\end{array}\)

C \(\begin{array}{l}{I_1}\left( { - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,{R_1} = 9\\{I_2}\left( {2;2} \right)\,\,;\,\,{R_2} = 4\end{array}\)

D \(\begin{array}{l}{I_1}\left( {1;2} \right)\,\,;\,\,{R_1} = 9\\{I_2}\left( { - 2; - 2} \right)\,\,;\,\,{R_2} = 4\end{array}\)

Câu 18 : Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng \({45^o}\).

A \(7x - y = 0\) và \(x + 7y = 0.\)

B \(7x - y = 0\) và \( - x + 7y = 0.\)

C \(7x + y = 0\) và \(x + 7y = 0.\)

D \(7x + y = 0\) và \( - x + 7y = 0.\)

Câu 19 : Cho Elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(16{x^2} + 49{y^2} = 1\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của Elip \(\left( E \right)\) và \(\left( C \right)\) tiếp xúc với hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right).\)

A \(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x + \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 1\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\)

B \(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x - \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 1\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\)

C \(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x + \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 4\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)

D \(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x - \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 4\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)

Câu 20 : Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }}\)

A \(\min \,P = 1\)

B \(\min \,P = 2\)

C \(\min \,P = 3\)

D \(\min \,P = 4\)

Đề thi HK2 môn Toán lớp 10 THPT chuyên Hà Nội Ams...