Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a,b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT của đường thẳng \(d\) cần tìm.

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai VTPT (VTCP)

Giải phương trình tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) từ đó suy ra phương trình của \(\left( d \right).\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 4;3} \right)\) là một VTPT của đường thẳng \({I_1}{I_2}\) 

Gọi \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a;\,b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT của đường thẳng \(d\) cần tìm

\( \Rightarrow d:\,\,ax + by = 0.\)

Ta có: \(\cos \left( {{I_1}{I_2},d} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^o} = \frac{{\left| { - 4a + 3b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2{\left( { - 4a + 3b} \right)^2} \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)

Với \(b = 0 \Rightarrow a = 0\)   (ktm)

Với \(b \ne 0\), chia cả hai vế cho \({b^2}\) ta được:

\(7{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} - 48.\frac{a}{b} - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 7 \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {7;1} \right) \Rightarrow 7x + y = 0\\\frac{a}{b} =  - \frac{1}{7} \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - 1;7} \right) \Rightarrow  - x + 7y = 0\end{array} \right.\)

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \(7x + y = 0\) và \( - x + 7y = 0.\)

Chọn D.