Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({a^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng BĐT AM-GM và Cauchy để tìm min của từng số hạng trong tổng \(P.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {1 + 8{a^3}}  = \sqrt {\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)} \,\,\,\,\mathop  \le \limits^{AM - GM} \,\,\,\,\frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 1 + 2{a^2}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 + 8{b^3}}  \le 1 + 2{b^2}\\\sqrt {1 + 8{c^3}}  \le 1 + 2{c^2}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }} \ge \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{b^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{c^2}}}.\)

Mặt khác:

\(\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{{1 + 2{a^2}}}{9} - \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\,\,\,\,\mathop  \ge \limits^{Cauchy} \,\,\,\,2\sqrt {\frac{1}{{1 + 2{a^2}}}.\frac{{1 + 2{a^2}}}{9}}  - \frac{2}{9}{a^2} - \frac{1}{9} = \frac{{5 - 2{a^2}}}{9}\)

Khi đó: \(P \ge \frac{{5 - 2{a^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{b^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{c^2}}}{9} = \frac{{15 - 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{9} = \frac{{15 - 2.3}}{9} = 1\)

Vậy \(\min \,P = 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\\1 + 2a = 1 - 2a + 4{a^2}\\\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\end{array} \right.\) và vai trò của \(a,b,c\) như nhau nên ta được \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {1;1;1} \right).\)

 Chọn A.