Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực : \(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải từng BPT \(\sqrt {f\left( x \right)}  < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\) và hợp nghiệm. 

Giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \ne 0\\2x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{3}{2}\\x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{2x - 3}} - \frac{x}{{2x - 1}} \le 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {{x^2} + 3}  + 3x < 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) - x\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 5x - 3 - 2{x^2} + 3x}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{8x - 3}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\)

Ta có bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu ta có : \(\left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\\frac{3}{8} \le x < \frac{3}{2}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3}  < 1 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 3x \ge 0\\{x^2} + 3 < 1 - 6x + 9{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\8{x^2} - 6x - 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\\left( {4x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{4}.\end{array}\)

Kết hợp nghiệm của hai bất phương trình ta được \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\)

Chọn C.