a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng các công thức lượng giác biến đổi vế trái và về phải cùng bằng một biểu thức thứ 3

b) Biến đổi và giải hệ bất phương trình với biến \(m\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\) khi các biểu thức đều xác định.

Ta có:  \(VP = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{\frac{{2\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\) 

\( = \frac{{1 + 2\sin x\cos x}}{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)}} = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x - \sin x}}\)    (1)

\(VT = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}} = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}}\)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow VT = VP = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x - \sin x}} \Rightarrow \) đpcm.

b) Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x > 5\\{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0\end{array} \right.\) có nghiệm.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x > 5\\{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) > 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x <  - 1\end{array} \right.\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5\\\left\{ \begin{array}{l}x <  - 1\\x \ge m\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 5\end{array} \right.\) thì hệ BPT luôn có nghiệm.

Chọn A.