- Phương pháp quy nạp toán học (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

A \(n = p\)

B \(n = 1\)

C \(n = k\,\,(k \ge p)\)

D \(n = k + 1\,(k \ge p)\)

Câu 2 : Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A \(k > p\)

B \(k \ge p\)

C \(k = p\)

D \(k < p\)

Câu 3 : Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 3 ta chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với n bằng:

A \(n = p\)

B \(n = 1\)

C \(n = k\,\,(k \ge p)\)

D \(n = k + 1\,(k \ge p)\)

Câu 4 : Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\), ta tiến hành hai bước:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\) .Bước 2: Giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge 1\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).Trong hai bước trên:

A Chỉ có bước 1 đúng

B Chỉ có bước 2 đúng

C Cả hai bước đều đúng

D Cả hai bước đều sai

Câu 5 : Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\) .Bước 2: Giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\).Bước 3: Chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k + 1\).Trong ba bước trên:

A Chỉ có bước 1, 2 đúng

B Chỉ có bước 2, 3 đúng

C Chỉ có bước 1, 3 đúng

D Cả hai bước đều đúng

Câu 6 : Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho(a) \(k \in Q\) (b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q,\,\,\forall n \ge k\).

A Mọi số nguyên dương đều thuộc Q

B Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D Mọi số nguyên đều thuộc Q

Câu 7 : Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\). Tính \({S_3}\).

A \({S_3} = \frac{1}{5}\)

B \({S_3} = \frac{2}{9}\)

C \({S_3} = \frac{3}{{13}}\)

D \({S_3} = \frac{4}{{17}}\)

Câu 8 : Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?Bài toán: Chứng minh quy nạp: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\,\,\,(k \ne 1)\)Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\)Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:\({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\)Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

A Đúng

B Sai

C Không đúng, không sai

D Vừa đúng vừa sai

Câu 9 : Một học sinh chứng minh mệnh đề ''\({8^n} + 1\) chia hết cho 7, \(\forall n \in {N^*}\)'' (*) như sau:+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \({8^k} + 1\) chia hết cho 7.+) Ta có:\({8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7\), kết hợp với giả thiết \({8^k} + 1\) chia hết cho 7 nên suy ra được \({8^{k + 1}} + 1\) chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in {N^*}\).Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Câu 10 : Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:A(n) : “Nếu a và b là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = n\) thì \(a = b\)”Chứng minh :Bước 1: A(1):”Nếu a, b là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) thì \(a = b\)”Mệnh đề A(1) đúng vì \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) và a, b là những số nguyên dương thì \(a = b = 1\).Bước 2: Giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi \(k \ge 1\).Bước 3: \(\max \left\{ {a;b} \right\} = k + 1 \Rightarrow \max \left\{ {a - 1;b - 1} \right\} = k + 1 - 1 = k\)Do A(k) là mệnh đề đúng nên \(a - 1 = b - 1 \Rightarrow a = b \Rightarrow \) A(k+1) đúng.Vậy A(n) đúng với mọi \(n \in {N^*}\)

A Bước 1

B Bước 2

C Bước 3

D Không có bước nào sai

Câu 11 : Gọi \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\forall n = 1;\;2;\;3.....\) thì kết quả nào sau đây là đúng

A \({S_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)

B \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)

C \({S_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)

D \({S_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Câu 12 : Kí hiệu \(n! = n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...3.2.1,\,\forall 1,2,3...\)Với \(S = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + 2007.2007!\) thì giá trị của \(S\) là bao nhiêu

A \(S = 2.2007!\)

B \(S = 2008! - 1\)

C \(S = 2008!.\)

D \(S = 2008! + 1.\)

Câu 13 : Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2}\) là:

A \({S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

B \({S_n} = \frac{{(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

C \({S_n} = \frac{{n(n + 1)}}{6}\)

D \({S_n} = \frac{{n(2n + 1)}}{6}\)

Câu 14 : Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}}\) là:

A \({S_n} = \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

B \({S_n} = \frac{3}{4} + \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

C \({S_n} = \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}} - \frac{3}{4}\)

D \({S_n} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

Câu 15 : Xét hai mệnh đề sau:I) Với mọi \(n \in {N^*}\), số \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho 3.II) Với mọi \(n \in {N^*}\), ta có \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ I

B Chỉ II

C Không có

D Cả I và II

Câu 16 : Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\) chia hết cho:

A 5

B 7

C 4

D 19

Câu 17 : Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa \(n \ge 3\)thì:

A \({2^n} < n\)

B \({2^n} < 2n\)

C \({2^n} < n + 1\)

D \({2^n} > 2n + 1\)

Câu 18 : Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình : \({x^2} - 6x + 1 = 0\). Đặt \({a_n} = x_1^n + x_2^n\). Chọn mệnh đề đúng:

A \({a_n}\) không chia hết cho 2

B \({a_n}\) không chia hết cho 3

C \({a_n}\) không chia hết cho 5

D \({a_n}\) không chia hết cho 6

Câu 19 : Tổng các góc trong của một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng:

A \(\left( {n - 1} \right){.180^0}\)

B \(\left( {n - 2} \right){.90^0}\)

C \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\)

D \(\left( {n - 1} \right){.90^0}\)

- Phương pháp quy nạp toán học (có lời giải chi ti...