Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = {1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = 1 = \frac{{1.2.3}}{6}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = \frac{{2.3.5}}{6};\;\;{S_3} = 14 = \frac{{3.4.7}}{6}\,;\,\,\,\,{S_4} = 30 = \frac{{4.5.9}}{6}\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = {1^2} = 1 = \frac{{1.2.3}}{6}\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\)

\( = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6} = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn A.