Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = \f...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = \frac{5}{9} = \frac{3}{4} - \frac{7}{{36}};\;\;{S_3} = \frac{2}{3} = \frac{3}{4} - \frac{9}{{108}}\,\)  

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1)  bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{3}{4} - \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 3}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}}\)

        \( = \frac{3}{4} - \frac{{3\left( {2k + 3} \right) - 4\left( {k + 1} \right)}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{6k + 9 - 4k - 4}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^k}}} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn D.