Kí hiệu \(n! = n.\left( {n - 1} \right).\left( {n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + n.n!\)  

Ta thấy: \({S_1} = 1 = 2! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = 3! - 1\) ;  \({S_3} = 23 = 4! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_4} = 119 = 5! - 1\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \left( {n + 1} \right)! - 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = 1.1! = 1\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + k.k! = \left( {k + 1} \right)! - 1\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \left( {k + 1 + 1} \right)! - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)

\( = \left( {k + 1} \right)!\left( {1 + k + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1 = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh. 

\( \Rightarrow S = {S_{2017}} = 2008! - 1\)

Chọn B.