Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiê...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán đáp án và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 

Giải chi tiết:

Ta thấy: Với \(n = 3 \Rightarrow {2^n} = 8\)  

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({2^n} > 2n + 1\)\(\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 3 \Rightarrow {2^n} = 8 > 7 = 2n + 1\)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 3} \right)\) ta có:

\({2^k} > 2k + 1\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1\,} \right) + 1 = 2k + 3\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2.\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 2k + 2 \ge 2k + 6 + 2 = 2k + 8 > 2k + 3\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh. 

Chọn D