Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi-ét  biến đổi \({a_n}\), dự đoán kết quả và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Ta có: \({a_n} = ({x_1} + {x_2})(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - {x_1}{x_2}(x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2})\)

Theo định lí Viét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\) nên ta có:

\({a_n} = 6(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - (x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2}) = 6{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}\).

Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({a_n}\) không chia hết cho 5

* Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)

\( \Rightarrow {a_1}\)  không chia hết cho 5

* Giả sử \({a_k}\)   không chia hết cho 5 với mọi \(k \ge 1\).

Ta chứng minh \({a_{k + 1}}\)  không chia hết cho 5.

Do \({a_{k + 1}} = 6{a_k} - {a_{k - 1}}\)

Mặt khác: \({a_{k + 1}} = 5{a_k} + ({a_k} - {a_{k - 1}}) = 5{a_k} + 5{a_{k - 1}} - {a_{k - 2}}\)

Vì \({a_{k - 2}}\) không chia hết cho 5 và \(\left\{ \begin{array}{l}5{a_k} \vdots 5\\5{a_{k - 1}} \vdots 5\end{array} \right.\) nên suy ra \({a_{k + 1}}\) không chia hết cho 5.

Chọn C