Tổng các góc trong của một n – giác lồi \((n \ge 3...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Với \(n = 3\)  ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

Với \(n = 4\)  ta có tổng bốn góc trong tứ giác bằng \({360^0}.\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: đáp án C

Chứng minh:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với  \(3 \le k < n,\) ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là \(k+1\), thì số cạnh của đa giác kia là \(n - k + 1,\) hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \(\left( k-1+n-k-1 \right){{180}^{0}}=\left( n-2 \right){{180}^{0}}\). 

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3.\)

Chọn C