Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {5.2^{3n -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán đáp án và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = 19\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 323\)  

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n}\)  chia hết cho 19 \(\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = 19 \vdots 19\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = {5.2^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}} \vdots 19\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}} = {5.2^{3k + 1}} + {3^{3k + 2}} \vdots 19\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {5.2^{3k + 1}} + {3^{3k + 2}} = {5.8.2^{3k - 2}} + {27.3^{3k - 1}}\)

\( = 8\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.3^{3k - 1}} = 8.{S_k} + {19.3^{3k - 1}} \vdots 19\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn D