Lý thuyết phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết về phương trình đường tròn là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học. Đây được coi là phần kiến thức cơ sở trong áp dụng vào giải quyết các bài tập liên quan đến mặt phẳng tọa độ. Để nắm chắc được phần công thức này chúng tôi mong muốn cung cấp cho bạn bộ bài giảng mới nhất về chủ đề này. Hy vọng chúng hữu ích đối với bạn!

I. Lý thuyết về đường tròn

1. Định nghĩa

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

2. Chu vi đường tròn

Định nghĩa: Chu vi hình tròn hay độ dài đường tròn là đườngbiên giới hạn của hình tròn.

Công thức tính chu vi đường tròn: 

Công thức của chu vi hình tròn là:

\({\displaystyle C=d\times pi}{\displaystyle =r\times 2\times pi}\)

Trong đó:

• C là chu vi của hình tròn;
• d là đường kính hình trò

3. Diện tích đường tròn

Diện tích hình tròn là diện tích của một hình tròn. Công thức của diện tích hình tròn là \({\displaystyle S=\pi r^{2}} \) với r là bán kính.

II. Lý thuyết về phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn.

• Dạng 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I (a;b), bán kính R > 0:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)

• Dạng 2: Phương trình đường tròn tổng quát: \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0 (*)\) có tâm I (a;b) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}\)

Điều kiện để (*) là phương trình đường tròn là: \(a^2+b^2-c>0\)

Các bước lập phương trình đường tròn:

• Bước 1: Xác định tâm I(a;b) của (C).
• Bước 2: Xác định bán kính R > 0.

Kết luận: Phương trình đường tròn (C) có tâm I (a;b), bán kính R > 0: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Dựa vào giả thiết xác định a, b, c.

Tham khảo ngay tại Lý thuyết về phương trình đường tròn

Xem thêm:

• Phương trình đường thẳng
• Danh mục công thức toán học

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

Tiếp tuyến của (C) tại \(M_0(x_0;y_0)\) với Mo là tiếp điểm.

Tiếp tuyến của (C) tại M0 có phương trình: \(xx_0+yy_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0\)

Nhận xét: Rõ ràng tiếp tuyến \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0)\) \(\Delta: (a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\)

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Áp dụng điều kiện tiếp xúc: đường thẳng \(\Delta:ax+by+c=0\) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d (I;\(\Delta\)) = R.

III. Vị trí tương đối của đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Có ba vị trí tương đối của đường thẳng với đương tròn:

• Đường thẳng tiếp xúc đường tròn

• Đường thẳng cắt đường tròn

• Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:

2. Vị trí tương đối của hai đường tròn

IV. Mối tương quan giữa đường tròn với tam giác

1. Đường tròn nội tiếp tam giác

Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác (có thể là 2 đường phân giác).

2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác (có thể là giao điểm hai đường trung trực)

V. Đường tròn lượng giác

Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) và trên đó chọn điệm A làm gốc.

Trong đó:

• Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA;OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.
• Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.
• Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.
• Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tan.
• Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cot.

Giá trị lượng giác sin, cos, tan và cot được xác định như sau:

Luyện các bài tập tại:

• Bài 3 trang 84 SGK phương trình đường tròn lớp 10
• Bài 2 trang 83 SGK Hình học 10
• Bài tập đường tròn lớp 9 có đáp án

Vừa rồi chúng tôi đã giúp bạn hệ thống lại kiến thức về đường tròn nói chung và đưa ra một số bài tập tham khảo. Mong rằng chúng sẽ giúp bạn giải đáp phần nào thắc mắc về học phần này. Mọi ý kiến xin vui lòng để lại, chúng tôi sẽ giúp bạn giải đáp những thắc mắc đó. Chúc các bạn thành công!