Bài 2 trang 83 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$  có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua $M(2; -3)$;

b) $(C)$  có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường  thẳng $d : x – 2y + 7 = 0$

c) $(C)$  có đường kính $AB$ với $A(1; 1)$ và $B(7; 5).$

Hướng dẫn giải

+) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; \, b)$ và đi qua điểm $M$ thì có bán kính là $R=IM$ và có phương trình: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} = I{M^2}.$

+) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; \, b)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$ thì $R = d\left( {I;\;d} \right).$

+) Đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ thì có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính: $R = \frac{{AB}}{2}.$

Lời giải chi tiết

a) Ta tìm bán kính ${R^2} = {\rm{ }}I{M^2}$$\Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }}$$= {\rm{ }}52$

 Phương trình đường tròn $(C)$:

${\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52$

b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d$ nên khoảng cách từ tâm  $I$ tới đường thẳng $d$ phải bằng bán kính đường tròn:

$d(I; d) = R$

Ta có : $R = d(I, d) = \frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}$  

$\Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}$

c) Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, có tọa độ :

$x = \frac{1 +7}{2} = 4$; $y = \frac{1 +5}{2} = 3$ suy ra $I(4; 3)$

$AB = 2\sqrt {13}$ suy ra $R = \sqrt {13}$   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13$