Dạng bài liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Dạng bài liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Trong chương trình học hình học giải tích lớp 10 chắc hẳn bạn đã làm quen với khái niệm về phương trình đường thẳng. Nó được đánh giá là một phần kiến thức cơ bản quan trọng mà bạn cần phải biết. Nếu bạn thấy mình chưa nắm chắc được các dạng bài tập này thì bài viết chắc chắn sẽ là sự lựa chọn thú vị cho bạn.

I. Định nghĩa

Mọi phương trình dạng \(ax+by+c=0\), với \(a^2+b^2≠0\) đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận →n=(a;b) làm vectơ pháp tuyến.

Xem ngay: Phương tình phân giác

II. Các dạng phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có dạng phương trình tổng quát là \(ax+by+cz=0\)với \(a^2+b^2\neq0\). Ngược lại mỗi PTĐT dạng \(ax+by+cz=0\) với \(a^2+b^2\neq0\)đều là PTTQ của đường thẳng, nhân VTPT là \(\overrightarrow{n}=(a;b)\).

• Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Phương pháp: Giả sử 2 điểm A và B cho trước có tọa độ là: A(a1;a2) và B(b1;b2). Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A và B.

Gọi phương trình đường thẳng có dạng d: y = ax+b

Vì A và B thuộc phương trình đường thẳng d nên ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} a_{2}=a.a_{1}+b& \\ b_{2}=b.b_{1}+b& \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} a=? \\ b=?& \end{matrix}\right.\)

Thay a và b ngược lại phương trình đường thẳng d sẽ được phương trình đường thẳng cần tìm.

Chú ý: Hai điểm A và B có thể biết trước tọa độ hoặc chưa biết tọa độ ngay, chúng ta cần phải đi tìm tọa độ của chúng.

• Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Giả sử hàm số bậc ba \(y=f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+d\left({a\ne 0}\right)\) có hai điểm cực trị là \({x_1};{x_2}\). Khi đó, thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được : \(f\left(x\right)=Q\left(x\right).f'\left(x\right)+Ax+B\)

Do đó, ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {y_1}=f\left({{x_1}}\right)=A{x_1}+B\\ {y_2}=f\left({{x_2}}\right)=A{x_2}+B\\ \end{array} \right.\)

Suy ra, các điểm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right),\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = Ax + B\)

• Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng

Viết PT đường thẳng (d) qua A và song song với đường thẳng Δ

B1: Tìm VTCP \(\overrightarrow{u}_\Delta\).

B2: Viết PT đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow{u}_\Delta\) làm VTCP.

• Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

B1: Tìm các VTCP \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\)của d1; d2.

B2: Đường thẳng d có VTCP là: \(\overrightarrow{u}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\).

B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận \(​​​​\overrightarrow{u}\) làm VTCP.

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

B1: Tìm giao điểm \(A = (α) ∩ (d)\)

B2: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d.

Xem ngay: Công thức góc giữa hai đường thẳng, Tổng hợp công thức Toán học.

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng

• Vectơ \(\overrightarrow {\alpha}\neq \overrightarrow{0}\) gọi là vtcp của đường thẳng d nếu giá của \(\overrightarrow{\alpha}\) song song hoặc trùng d.
• Vtcp của đường thẳng d ký hiệu là \(\overrightarrow {\alpha_d}\).
• Cho đường thẳng d đi qua điểm \(M(x_0,y_0,z_0) \) và có vtcp \(\overrightarrow {\alpha_d}=(a,b,c)\)

Phương trình chính tắc có dạng: \(\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} (a,b,c\neq0)\)

3. Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số có dạng: \(\left\{\begin{array}{cc}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.\) với t là tham số và t thuộc R

III. Bài tập về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\alpha\) và \(\beta\).

Phương pháp:

• Tìm 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow{a_d}=[n_\alpha,n_\beta]\)
• Tìm 1 điểm \(M\in \alpha\cap\beta\)
• d chính là đường thẳng qua M và có vtcp \(\overrightarrow{a_d}\)

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d.

Phương pháp 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp của d.

Phương pháp 2:

• Tìm 2 mặt phẳng \(\alpha\) và \(\beta\) khác nhau cùng đi qua  d.
• \(d\in \alpha\cap\beta\)

Dạng 3: Viết phương tình mặt phẳng (P) đi qua M và đường thẳng d.

Phương pháp:

• Tìm \(A\in d \) và \(\overrightarrow {\alpha_d}\)
• (P) là mặt phẳng qua M (hay qua A) và có \(\overrightarrow {n_P}=[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{a_d}]\)

Xem thêm các luyện tập tại:

• Bài tập phương trình đường thẳng lớp 10
• Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 11
• Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đầy đủ và chi tiết nhất

Lưu ngay bài học về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, đây là bản tổng hợp chi tiết các dạng thường gặp trong đề thi và các bài kiểm tra. Mong rằng chúng hữu ích đối với bạn, chúc các bạn học tập vui vẻ!