Giải bài Toán bằng cách lập hệ phương trình 9

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 9

Cùng Cunghocvui tìm hiểu về những nội dung lý thuyết quan trọng và giải bài tập về cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lý thuyết!

I. Lý thuyết

1. Các bước thực hiện

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Đối với các thành phần của phương trình ta phải đặt điều kiện thích hợp cho chúng;

- Dùng phương pháp cộng đại số và thay thế để lập phương trình mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình.

- Biến đổi các phương trình để dùng phương pháp giải ra nghiệm

Bước 2. Thực hiện phép tính ban đầu.

Bước 3. Kết luận

- Sau khi đã tìm ra giá trị của ẩn, thay ngược lại điều kiện xem đã đáp ứng hay chưa.

- Kết luận bài toán.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Biến đổi dựa vào mối liên hệ cho trước giữa chúng.

Phương pháp:

Áp dụng theo mẫu như sau:

+) Biến đổi theo mẫu cơ bản sau đây: \(\overline {ab}  = 10a + b\) trong đó

a là thành phần đầu tiên và \(0 < a \le 9, a \in \mathbb{N}\),

b: số phía sau và \(0 \le b \le 9,b \in \mathbb{N}.\)

+) Mẫu số 2: \(\overline {abc}  = 100a + 10b + c\) trong đó

a là chữ số hàng trăm và \(0 < a \le 9, a \in \mathbb{N},\)

b là chữ số hàng chục và \(0 \le b \le 9,b \in \mathbb{N},\)

c: số hạng cuối cùng của số tổng quát và \(0 \le c \le 9,c \in \mathbb{N}.\)

Dạng 2: Toán chuyển động

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các công thức \(S = v.t, v = \dfrac{S}{t},t = \dfrac{S}{v}\)

Các đại lượng S, v, t xác định giá trị cho trước.

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Phương pháp:

Khi giải các bài tập đến dạng này ta cần áp dụng một số lưu ý như sau:

- Các yếu tố tương quan gồm có: Tất cả khối lượng thống kê, năng suất của từng cá thể lao động và khoảng thời lượng hoàn thành xong nghĩa vụ công việc.

- Phương trình quy đổi năng suất lao động ra được số lượng công việc hoàn thành như sau: x tạo ra \(\dfrac{1}{x}\) công việc.

- Chỉ xem xét trong một dạng việc nhất định.

Dạng 4: Toán phần trăm

Phương pháp:

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a%  là (100 + a)% .x (sản phẩm)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi giảm a%  là (100 - a)\% .x (sản phẩm).

Dạng 5: Đối với các mối quan hệ hình học.

Phương pháp:

Một số công thức cần nhớ

- Với tam giác:

Công thức tính: S = \((a.h):2\)

\(C = a+b+c\) với các biến lần lượt là độ dài của từng cạnh tạo nên tam giác.

Với tam giác có góc vuông: \(S=(a.b)/2\) đối với hai hệ số a, b là hai cạnh kề tạo nên góc vuông.

- Với hình chữ nhật: 

Diện tích = Chiều dài. Chiều rộng

Chu vi = (Chiều dài + chiều rộng) : 2

- Với hình vuông có độ dài của cạnh là a

\(S={a^2}\)

\(C = 4a\)

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Mỗi hãng phân phối rau nhận một dự án vận chuyển, điều lệ được quy định chặt chẽ theo giá trị hợp đồng. Theo yêu cầu, công ty phải chở tổng cộng là 15 cân rau theo dự tính. Thực tế khi trực tiếp vào việc thực hiện hoạt động thì những chiếc xe to bị hư hỏng nên không thể tham gia vào công việc vận chuyển, vì thế công ty sử dụng các loại xe hợp đồng dạng nhỏ với năng suất từng xe chỉ đảm bảo được 0.5 tấn/xe. Tuy nhiên việc hoạt thành hợp đồng vẫn phải được đảm bảo theo như thời gian đã ký kết. Chính vì vậy số xe cần huy động là bao nhiêu, trọng tải?

Lời giải:

Gọi x (tấn) là số lượng rau vận chuyển được trên một xe nhỏ; điều kiện: x > 0

Thì trọng tải của xe lớn là \(\displaystyle (x + 0,5) (tấn)\)

Nếu với dạng xe lớn thì ty cần huy động: \(\displaystyle {{15} \over {x + 0,5}} (xe)\)

Còn đối với lượng xe nhỏ, để hoàn thiện hợp đồng đúng thời hạn công ty cần huy động: \(\displaystyle {{15} \over x} (xe)\)

Ta có phương trình: \( \displaystyle {{15} \over x} - {{15} \over {x + 0,5}} = 1\)

\(\displaystyle \eqalign{ & \Leftrightarrow 15\left( {x + 0,5} \right) - 15x = x\left( {x + 0,5} \right) \cr  & \Leftrightarrow 15x + 7,5 - 15x = {x^2} + 0,5x \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 0,5x - 7,5 = 0 \cr & \Delta = {1^2} - 4.2.\left( { - 15} \right) = 1 + 120 = 121 > 0 \cr  & \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 11} \over {2.2}} = {{10} \over 4} = 2,5 \cr & {x_2} = {{ - 1 - 11} \over {2.2}} = {{ - 12} \over 4} = - 3 \cr} \)

\(\displaystyle x_2= -3 < 0\) (giá trị giải ra không hợp lý nên không được chọn)

Vậy khối lượng vận chuyển hợp lý trên một xe nhỏ huy động được là 2,5 tấn.

Bài 2: Một chuyến xe di chuyển trên một đoạn đường S, theo thống kê cho thấy xe đến điểm dừng vào lúc 12h trưa. Đoạn đường dài x km để đi hết xe đã mất khoảng y giờ. Biết vận tốc trong hai trường hợp giả đỉnh là 35 km/h và 50 km/h. Nếu di chuyển với vận tốc số hai thì sẽ về sớm hơn dự kiến 1 tiếng. Tìm giá trị của x và y?

Bài giải:

Theo giả thuyết ta có điều kiện \(x > 0, y > 1\) (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ).

+) Trường hợp 1:

Xe đi với vận tốc 35 km/h

Biết rằng theo đề bài, B di chuyển từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc so với dự tính ít hơn 2 giờ cho nên: \(y+2 (giờ)\)

Quãng đường đi được là: \(35(y+2) (km)\)

Mà đoạn đường cho trước không có sự biến đổi vậy nên: \(x=35(y+2) (1)\)

+) Trường hợp 2:

Xe đi với vận tốc: 50 km/h

Biết rằng theo đề bài, B di chuyển từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc so với dự tính ít hơn 1 giờ cho nên: \( y-1 (giờ)\)

Quãng đường đi được là: \(50(y-1)  (km)\)

Mà đoạn đường cho trước không có sự biến đổi vậy nên: \(x=50(y-1) (2)\)

Từ các biến đổi lần lượt trên ta thu được kết quả sau đây:

\(\left\{\begin{matrix} x = 35(y + 2) & & \\ x = 50(y - 1) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 35y + 70 & & \\ x = 50y - 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x - 35y = 70 \ (1) & & \\ x - 50y =- 50 \ (2) & & \end{matrix}\right.\)

Vế trái của (1) trừ cho vế trái của (2), tương tự với vế phải, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} 15y =120 & & \\ x -50y =- 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x =- 50+50y & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x  =- 50+50.8 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x  =350 & & \end{matrix} (thỏa \ mãn)\right.\)

Vậy quãng đường AB là 350km.

Vậy thời điểm cần tìm là: \(12 - 8 = 4 \ giờ\)

Với những gì Cunghocvui đã giúp các bạn giải quyết về mẹo giải toán bằng cách lập hệ phương trình 9 trên đây, hy vọng rằng sẽ giúp các bạn đạt được kết quả cao trong học tập đặc biệt là môn Toán học!