Giải bài 53 trang 60 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Đề bài

   Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16) . Hãy tìm tỉ số ấy.

   Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên.Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

   

Hình 16

 Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Hướng dẫn giải

    Giả sử điểm M chia hai đoạn AB. Độ dài AB bằng a. 

  Gọi độ dài của AM= x( 0<x<a), thì MB = a-x.

  Theo đề bài: \( \dfrac{AM}{AB}= \dfrac{MB}{AM}\)

  Ta có phương trình: \( \dfrac{x}{a}= \dfrac{a-x}{x}\)

  Giải phương trình: \(x^2 = a(a-x) \Leftrightarrow x^2 + ax- a^2 = 0 \\ \Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = a\sqrt{5}\)

   Phương trình có nghiệm: 

   \(x_ 1= \dfrac{-1+a\sqrt{5}}{2}= \dfrac{a( \sqrt{5}-1)}{2}\\ x_ 2= \dfrac{a( \sqrt{5}+1)}{2}( loại)\)

  Vậy AM= \(\dfrac{ a( \sqrt{5}-1)}{2}\)

  Vậy tỉ số cần tìm là \(\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2}\)