Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Tìm điều kiện để mỗi biểu thức sau có nghĩa :

a. \(A = \sqrt {2 - 4x} \)

b. \(B = \sqrt {{{ - 3} \over {x - 1}}}  + \sqrt {{x^2} + 4} \)

Bài 2. So sánh : \(2 + \sqrt 3 \,\,va\,\,3 + \sqrt 2 \)

Bài 3. a. Rút gọn :  \(P = {{x\sqrt y  + y\sqrt x } \over {\sqrt {xy} }}:{1 \over {\sqrt x  - \sqrt y }}\,\,\,\)\(\left( {x > 0;y > 0;x \ne y} \right)\)

b. Tính P, biết \(x = \sqrt 2  - 1\,\,va\,\,y = \sqrt {9 - 4\sqrt 2 } \)

Bài 4. Tìm x, biết :

a. \(\sqrt {{x^2} + 3}  = x + 1\)

b. \(\sqrt {{x^2} + 1}  \le x + 2\)

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(P = 5 - \sqrt {{x^2} - 6x + 14} \)

Hướng dẫn giải

Bài 1. a. A có nghĩa \( \Leftrightarrow 2 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 2 \ge 4x \Leftrightarrow x \le {1 \over 2}\)

b. B có nghĩa \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{{ - 3} \over {x - 1}} \ge 0}  \cr   {{x^2} + 4 \ge 0}  \cr  } } \right.\)\( \Leftrightarrow x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\)

(vì \({x^2} + 1 \ge 0\) luôn đúng với mọi x)

Bài 2. Ta có:

\(\eqalign{  & 2 + \sqrt 3  < 3 + \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt 3  < 1 + \sqrt 2   \cr  &  \Leftrightarrow 3 < 1 + 2\sqrt 2  + 2\cr& \Leftrightarrow 2\sqrt 2  > 0\,\,\left( \text{luôn đúng} \right) \cr} \)

Bài 3. a. Ta có:

\(\eqalign{   P& = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}:{1 \over {\sqrt x  - \sqrt y }}  \cr  &  = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) \cr&= x - y \cr} \)

b. Ta có: \(y = \sqrt {9 - 4\sqrt 2 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  \)\(\,= 2\sqrt 2  - 1\)

Vậy : \(P = \left( {\sqrt 2  - 1} \right) - \left( {2\sqrt 2  - 1} \right) =  - \sqrt 2 \)

Bài 4. a. Ta có:

\(\eqalign{  & \sqrt {{x^2} + 3}  = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x + 1 \ge 0}  \cr   {{x^2} + 3 = {x^2} + 2x + 1}  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x \ge  - 1}  \cr   {x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & \sqrt {{x^2} + 1}  \le x + 2 \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{x^2} + 1 \ge 0}  \cr   {x + 2 \ge 0}  \cr   {{x^2} + 1 \le {x^2} + 4x + 4}  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x \ge  - 2}  \cr   {x \ge  - {3 \over 4}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x \ge  - {3 \over 4} \cr} \)

Bài 5. Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 14}  = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 5}  \ge \sqrt 5 \) (vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi x)

\( \Rightarrow  - \sqrt {{x^2} - 6x + 14}  \le  - \sqrt 5\)

\(  \Rightarrow 5 - \sqrt {{x^2} - 6x + 14}  \le 5 - \sqrt 5 \)

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(5 - \sqrt 5 ;\) đạt được khi

\(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)