Chuyên đề số phức và ứng dụng trong giải bài tập liên quan

Chuyên đề số phức và ứng dụng trong giải bài tập liên quan

Chương học số phức là một dạng bài tập phổ biến mà bạn có khả năng đã làm quen từ bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông. Nắm bắt được tâm lý chung của học sinh khi giải các bài tập liên quan chúng tôi đưa ra một bản tổng hợp về định nghĩa và phương pháp giải phương trình bậc hai. Hy vọng nó sẽ giúp ích bạn đọc!

I. Số phức là gì?

Cho số phức thỏa mãn điều kiện thuộc tập hợp R, số phức được biểu diễn dưới dạng a + bi, với a và b là các số thực và i là đơn vị ảo, thỏa mãn \( i^2=−1.\)

Số thực a được gọi là phần thực của a + bi, số thực b được gọi là phần ảo của a + bi.

Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo, nếu có phần ảo bằng không thì trở thành là số thực. Việc mở rộng trường số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực.

II. Phân loại

1. Số thực và số thuần ảo

Mỗi số thực a được xem là một số phức có b =0.

Ta có: \(R \subset C\)

Nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.

2. Số phức liên hợp

Cho số phức dưới dạng đại số \({\displaystyle Z=a+bi\,}\), số phức \({\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi}\) được gọi là số phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• \({\displaystyle Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}}\) là một số thực.
• \({\displaystyle {\overline {Z+Z'}}} ={\displaystyle {\overline {Z}}+{\overline {Z'}}}\)
• \({\displaystyle {\overline {Z\times Z'}}} ={\displaystyle {\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}}\)

3. Số phức dạng lượng giác

• Số phức \({\displaystyle z=a+bi}\) có thể viết dưới dạng

\({\displaystyle z=a+b*i={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}*i\right)}\)
Khi đặt: \({\displaystyle r=|z|,\varphi =arg(z)}\)

ta có: \({\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}\)

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Xem tại đây:

• Cách thức biểu diễn hình học số phức toán học học sinh cần nắm vững
• Tổng hợp đầy đủ công thức số phức toán học học sinh không nên bỏ qua

III. Công thức số phức

1. Modun số phức

Cho \( {\displaystyle z=a+bi\,}\). Khi đó \({\displaystyle z\times {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}\,}\). Căn bậc hai của \({\displaystyle z\times {\overline {z}}\,}\) được gọi là module của z, ký hiệu là |z|. Như vậy \({\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\).

• Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z thì \(|z|=|\overline{OM}|= \sqrt{a^2+b^2}\).
• Nếu z = a + bi thì \(|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\).

2. Cực trị số phức

Dạng bài toán như sau: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z|.
Phương pháp chung:
+ Bước 1. Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*)
+ Bước 2. Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ (H) sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất

Xem thêm tại: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Mỗi số phức đều được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Tương tự, mỗi điểm M(a;b) đều biểu diễn một số phức là z = a +bi.

IV. Bài tập trắc nghiệm số phức

Luyện tập ngay tại: Bài tập số phức

Trong quá trình học tập, nếu các bạn vẫn chưa hiểu rõ bản chất và lý thuyết chung về số phức, vậy cùng học vui mời các bạn cùng tham khảo và tìm hiểu cách giải mà chúng tôi đã tổng hợp được trên đây. Mọi ý kiến thắc mắc xin vui lòng để dưới mục bình luận chúng tôi sẽ cố gắng phản hồi sớm nhất. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!