Chuyên đề hàm số bậc nhất lớp 9

Chuyên đề hàm số bậc nhất lớp 9

Tại bài viết này, cùng Cunghocvui tìm hiểu về cách làm các dạng bài liên quan đến bài 2 hàm số bậc nhất nhé!

I. Lý thuyết

1. Hàm số bậc nhất là gì?

- Tính chất:

+ Đối với mọi số x bất kỳ hàm số luôn tìm được một giá trị xác định.

+ a > 0 thì hàm số đã cho được coi là đồng biến x.

+ a < 0 thì hàm số đã cho được coi là nghịch biến x.

- Đồ thị hàm bậc nhất:

Xét trong điều kiện nếu hai điểm A(0; b); B(-b/a; 0) nằm trên đường thẳng y = ax+b ta có được các tính chất sau đây của hàm số:

Chính vì vậy, hàm số bậc nhất đồng biến khi nào và khi nào được coi là nghịch biến?

+ Xét các điều kiện của a ta đưa ra được các trường hợp như sau:

a > 0 thì hàm số đã cho được coi là đồng biến x, đồ thị tạo với trục Ox một góc nhọn.

a < 0 thì hàm số đã cho được coi là nghịch biến x, đồ thị tạo với trục Ox một góc tù.

Nếu a = 1  ta vẽ được đường thẳng sao cho nó chính là đường song song với đường phân giác I và đi qua hai điểm A và B cho trước.

Nếu a = - 1 ta vẽ được đường thẳng sao cho nó chính là đường song song với đường phân giác II và đi qua hai điểm A và B cho trước.

+ Đồ thị giao với trục tung Oy tại b nên b sẽ là tung độ của điểm vừa nằm trên Oy vừa nằm trên AB.

2. Các vị trí tương đối cần lưu ý

Xét đường thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')

- Hai đường thẳng trên cắt nhau ⇔ \(a\# a'\)

- Hai đường thẳng trên trùng nhau ⇔ \(a=a′  \ và \ b \# b′\)

- Hai đường thẳng trên là trung nhau ⇔ \(a=a′  \ và \ b = b′\)

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau tại một điểm ⇔  \(a.a′=−1\)

Hàm số bậc nhất

II. Giải toán 9 hàm số bậc nhất

Bài 1: Xác định tính biến thiên của hàm số tại x và chỉ ra đâu là hàm bậc nhất trong số các hàm dưới đây?

a) \(y = 3 - 0,5x\)                 

b) \(y = -1,5x \)

c) \(y = c - 2x^2\)

d) \(y = (\sqrt{2} - 1)x + 1\)                

e) \(y = \sqrt{3}(x - \sqrt{2})\)

f) \(y + \sqrt{2} = x - \sqrt{3}\)

Bài giải:

a) \( y = 3 - 0,5x \) là hàm số bậc nhất, với:

- hệ số \(a = -0,5; b = 3\)

- THeo lý thuyết suy ra kết luận hàm ty lệ nghịch so với x.

b) \(y = -1,5x\) là hàm số bậc nhất, có:

- hệ số \(a = -1,5; b = 0\)

- Từ đó suy ra được kết luận hàm đã cho là tỷ lệ nghịch với x

c) \(y = c - 2x^2\) vì biến có mũ hai nên vi phạm lý thuyết về hàm bậc nhất.

d) \(y = (\sqrt{2} - 1)x + 1\) là hàm số bậc nhất có:

- hệ số \(a = \sqrt{2} - 1; b = 1\)

- vì \(\sqrt{2} > 1 => a > 0\) từ đó suy ra hàm tỷ lệ thuận so với chiều thay đổi của x

e) \(y = \sqrt{3}(x - \sqrt{2})\), ta có thể viết lại thành:

\( y = \sqrt{3}x - \sqrt{6}\) là hàm số bậc nhất có

- hệ số \(a = \sqrt{3}; b = -\sqrt{6}\)

- Kêt luận được đưa ra ở đây là hàm tỷ lệ thuận so với x.

f) \(y + \sqrt{2} = x - \sqrt{3}\), ta biến đổi thành:

\(y = x - \sqrt{3} - \sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow y = x - (\sqrt{3} + \sqrt{2})\) là hàm số bậc nhất, có:

- hệ số \(a = 1; b = - (\sqrt{3} + \sqrt{2})\)

- Từ đó suy ra hàm tỷ lệ thuận so với chiều thay đổi của x.

Bài 2: Xét \(y = (m + 1)x + 5\)

Hàm số đồng biến và nghịch biến khi điều kiện của m là gì?

Bài giải:

a) Theo lý thuyết với giá trị a > 0 thì hàm số đã cho là đồng biến.

Áp dụng lý thuyết vài vào bài viết trên ta có, hệ số a = m + 1. Do đó m + 1 > 0 thì hàm số đồng biến.

\(=> m > -1\)

Vậy với m > - 1 thì hàm số \(y = (m + 1)x + 5\) trên được coi là đồng biến.

b) Theo lý thyết với giá trị a < 0 thì hàm số đã cho là nghịch biến.

hay \(m + 1 < 0 => m < -1\)

Vậy với m < -1 thì hàm số \(y = (m + 1)x + 5\) trên được coi là nghịch biến.

Bài 3:

Cho hàm số \(y = (3 - \sqrt{2})x + 1\)

a) Xét tính đồng, nghịch biến của hàm số đã cho? Nêu rõ lý do?

b) Tìm y khi x = ?

0;       1; \(\sqrt{2}\);       \(3 + \sqrt{2}; 3 - \sqrt{2}\)

c) Tìm x khi y = ?

0;        1; 8;        \(2 + \sqrt{2};   2 - \sqrt{2}\)

Bài giải:

a) Hàm số \(y = (3 - \sqrt{2})x + 1\) được xem là bậc nhất khi thỏa mãn điều kiện hệ số \(a = 3 - \sqrt{2}; b = 1.\)

Ta có \(3 > \sqrt{2} \ nên \ 3 - \sqrt{2} > 0\)

Hệ số a của hàm số \(y = (3 - \sqrt{2})x + 1\) > 0 nên ta nói hàm là đồng biến trên R.

b) - Với \(x = 0 \to  y = (3 - \sqrt{2}).0 + 1 = 1 \)

- Với \(x = 1 \to y = (3 - \sqrt{2}).1 + 1 = 4 - \sqrt{2}\)

- Với \(x = \sqrt{2} \to y = (3 - \sqrt{2}).\sqrt{2} + 1 = 3\sqrt{2} - 2 + 1 = 3\sqrt{2} - 1\).

- Với \(x = 3 + \sqrt{2} \to y = (3 - \sqrt{2}).(3 + \sqrt{2}) + 1 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 + 1 = 8\)

- Với \(x = 3 - \sqrt{2} \to y = (3 - \sqrt{2}).(3 - \sqrt{2}) + 1 = 3^2 - 2.3.\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 + 1 = 12 - 6\sqrt{2}.\)

c) 

- Với \(y = 0,\to 0 = (3 - \sqrt{2})x + 1 <=> (3 - \sqrt{2})x = -1 <=> x = -\frac{1}{3 - \sqrt{2}}\)

- Với \(y = 1, \to 1 = (3 - \sqrt{2})x + 1 <=> (3 - \sqrt{2})x = 0 <=> x = 0\)

- Với \(y = 8, \to 8 = (3 - \sqrt{2})x + 1 <=> (3 - \sqrt{2})x = 7 <=> x = \frac{7}{3 - \sqrt{2}}.\)

- Với \(y = 2 + \sqrt{2}, \to 2 + \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})x + 1 <=> (3 - \sqrt{2})x = 1 + \sqrt{2} <=> x = \frac{1 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}\)

- Với \( y = 2 - \sqrt{2}, \to 2 - \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})x + 1 <=> (3 - \sqrt{2})x = 1 - \sqrt{2} <=> x = \frac{1 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}\)

Bài 4:

Chứng minh định lý rằng hàm số \(y = ax + b\) tương quan thuận nghịch xuất phát từ điều kiện nào của a?

Lời giải:

- Trường hợp a > 0:

Giả sử \(x_1, x_2\) thuộc tập R và \(x_1 < x_2.\)

Ta có:

\(y_1 = ax_1 + b\)

\(y_2 = ax_2 + b\)

Khi đó \(y_1 - y_2 = (ax_1 + b) - (ax_2 + b)\)

\(<=> y_1 - y_2 = ax_1 - ax_2 + b - b\)

\(<=> y_1 - y_2 = a(x_1 - x_2) (1)\)

Theo giả thiết \(x_1 < x_2 \to x_1 - x_2 < 0\)

\(a>0\)

Suy ra \(a(x_1 - x_2) < 0 (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(y_1 - y_2 < 0 \to y_1 < y_2\)

Hàm số đã cho ban đầu tỷ lệ thuận trên R so với biến số.

- Trường hợp a < 0

Giả sử \(x_1, x_2\) thuộc tập R và \(x_1 < x_2.\)

\(y_1 - y_2 = a(x_1 - x_2)\)

Nhưng trong trường hợp này \(a < 0 \to a(x_1 - x_2) > 0\)

Nên \(y_1 - y_2 > 0\)

\(\to y_1 > y_2\)

Vậy hàm số đã cho là nghịch biến khi a < 0.

Bài 5: Tìm điều kiện hợp lý để hàm số đã cho dưới đây là hàm bậc nhất:

a) \(y = \sqrt{m - 3}x + \frac{2}{3}\)

b) \(S = \frac{1}{m + 2}t - \frac{3}{4} \)  (t là biến số)

Bài giải:

a) Ta có hàm số \(y = \sqrt{m - 3}x + \frac{2}{3}\) là bậc nhất khi hệ số \(a \neq 0\)

\(\to \sqrt{m - 3} \neq 0\)

\(<=> m - 3 > 0\)

\(<=> m > 3\)

Vậy \(m>3 \to\) \(y = \sqrt{m - 3}x + \frac{2}{3}\) được coi là hàm bậc nhất

b) \(S = \frac{1}{m + 2}t - \frac{3}{4} \) được coi là hàm bậc nhất khi thỏa mãn các điều kiện sau::

\(  \frac{1}{m + 2} \neq 0\)

\(<=> m + 2 \neq 0 <=> m \neq -2\)

Bài 6:

Tìm khoảng cách của các đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ đã biết tọa độ cho trước dưới đây?

a) A(1 ; 1)                                B(5 ; 4)

b) M(-2 ; 2)                              N(3 ; 5)

c) \(P(x_1 ; y_1) \)                             \(Q(x_2 ; y_2) \)

Bài giải:

Ta có: \(AC = 5 - 1 = 4; BC = 4 - 1 = 3; MD = 2 + 3 = 5; ND = 5 - 2 = 3.\)

a) Đoạn thẳng AB đi qua hai điểm A(1 ; 1) và B(5 ; 4) được tính như sau:

Trong tam giác ABC ta áp dụng công thức về định lý Py - ta - go, vì tam giác ABC được chứng minh là vuông tại C.

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

\(<=> AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25\)

\(<=> AB = \sqrt{25} <=> AB = 5\)

Suy ra theo cách tính trên đường thẳng AB = 5.

b) Tương tự:

Trong tam giác ABC ta áp dụng công thức về định lý Py - ta - go, vì tam giác MNK được chứng minh là vuông tại K.

\(MN^2 = MK^2 + NK^2\)

\(<=> MN^2 = 5^2 + 3^2 = 34\)

\(<=> MN = \sqrt{34} <=> MN \approx 5,8\)

Suy ra theo cách tính trên đường thẳng MN = 5,8.

c) Để tính được độ dài của đường thẳng PQ ta áp dụng công thức tổng quát về cách tính đường thẳng đi qua hai điểm với tọa độ cho trước như sau:

\(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Hy vọng rằng với những kiến thức mới về các dạng toán hàm số bậc nhất lớp 9 trên đây, các bạn hoàn toàn có thể nắm chắc một cách dễ dàng và có những giờ học thư giãn!