Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Ta đã biết \(\cos {\pi  \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\) Chứng minh rằng :

a. \(\cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

b. \(\cos {\pi  \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\)   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Hướng dẫn giải

a.

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

b. Với n = 2 ta có \(\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos {\pi  \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi  \over {{2^k}}}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).