Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Hướng dẫn giải

a) Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \(a^x=b\).

b) Đặt ẩn phụ \(t=5^x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

c) Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\).

d) Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

e) Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

g) Tìm ĐK.

\(\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,{3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {3.3^{x + 3}} - {3^{x + 3}} = {5.5^{x + 3}} - {3.5^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1\\\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)

b)  \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)) \(⇔ x = log_5 t\).

Phương trình đã cho trở thành:

\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia phương trình cho \(16^x\) ta được: \(4.{\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\frac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\) ta được phương trình:

\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{3}{4} = 1\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: \(x > 1\) 

\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
(x - 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện : \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {\sqrt{3}^6} \cr 
& \Leftrightarrow x = 27 (tm)\cr} \) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)