Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) ${3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}$

b) ${25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) ${4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0$

d) $lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x$

e) ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6$

g) $\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x$

Hướng dẫn giải

a) Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: $a^x=b$.

b) Đặt ẩn phụ $t=5^x$, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

c) Chia phương trình cho $16^x$ và đặt $t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t$.

d) Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

e) Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: ${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)$ (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

g) Tìm ĐK.

$\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l}a)\,\,{3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {3.3^{x + 3}} - {3^{x + 3}} = {5.5^{x + 3}} - {3.5^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\\\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1\\\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\end{array}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 3} \right\}$

b)  ${25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Đặt $t = 5^x$ ($t > 0$) $⇔ x = log_5 t$.

Phương trình đã cho trở thành:

${t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

c) ${4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0$

Chia phương trình cho $16^x$ ta được: $4.{\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\frac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0$

Đặt $t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t$ ta được phương trình:

$4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{3}{4} = 1$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { 1} \right\}$

d) $lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x$

Điều kiện: $x > 1$ 

$\eqalign{ & lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr (x - 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $x = 8$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 8$

e) ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6$

Điều kiện : $x > 0$

Ta có:

$\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {\sqrt{3}^6} \cr  & \Leftrightarrow x = 27 (tm)\cr}$ 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = 27$

g) $\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x$

Ta có:

$\eqalign{ & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0,x \ne 1 \hfill \cr {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow x = 4 \cr}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = 4$