Bài 5 trang 143 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

a) phần thực của \(z\) bằng \(1\)

b) phần ảo của \(z\) bằng \(-2\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc đoạn \([-1, 2]\), phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([0, 1]\)

d) \(|z| ≤ 2\)

Hướng dẫn giải

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z=x+yi\).

Tìm điều kiện của \(x;y\) và biểu diễn tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là các hình sau:

a) Ta có \(x = 1, y\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(x = 1\).

b) Ta có \(y = -2, x\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(y = -2\).

c) Ta có \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\), tức là \( - 1 \le x \le 2\), tập hợp các điểm M nằm bên trái đường thẳng \(x=2\) và nằm bên phải đường thẳng \(x=-1\) và \(y ∈ [0, 1]\), tức là \(0 \le y \le 1\) tập hợp các điểm M nằm bên dưới đường thẳng \(y=1\) và nằm bên trên đường thẳng \(y=0\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình chữ được tô màu.

d) Ta có:

 \(\left| z \right| \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình tròn tâm \(O\) (gốc tọa độ) bán kính bằng \(2\) (kể cả các điểm trên đường tròn).