Bài 10 trang 144 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

c) \(z^4– 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Gọi \(\delta\) là 1 căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó phương trình có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}}\\{x_1} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\end{array} \right.\)

b) Đặt \(z^2=t\), đưa phương trình về dạng phươn trình bậc hai và giải phương trình bậc hai đó, khi đó nghiệm \(z\) là căn bậc hai của các nghiệm \(t\) tìm được ở trên.

c) Đặt \(z^2=t\), đưa phương trình về dạng phươn trình bậc hai và giải phương trình bậc hai đó, khi đó nghiệm \(z\) là căn bậc hai của các nghiệm \(t\) tìm được ở trên.

Lời giải chi tiết

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) có \(Δ = 49 – 4.3.8 = -47\)

Căn bậc hai của \(\Delta\) là \( \pm i\sqrt{47}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_{1,2}} = {{ - 7 \pm i\sqrt {47} } \over 6}\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

Đặt \(t = z^2\), ta được phương trình : \({t^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow t =  \pm \sqrt 8 \)

\(\begin{array}{l}t = \sqrt 8 \Rightarrow {z^2} = \sqrt 8 \Leftrightarrow z = \pm \sqrt {\sqrt 8 } = \pm \sqrt[4]{8}\\t = - \sqrt 8 \Rightarrow {z^2} = - \sqrt 8 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt {\sqrt 8 } = \pm i\sqrt[4]{8}\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: \({z_{1,2}} =  \pm \root 4 \of 8 ,{z_{3,4}} =  \pm i\root 4 \of 8 \)

c) \(z^4– 1 = 0\)

Đặt \(t = z^2\), ta được phương trình : \({t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  \pm 1\).

\(\begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow {z^2} = 1 \Leftrightarrow z = \pm 1\\t = - 1 \Rightarrow {z^2} = - 1 \Leftrightarrow z = \pm i\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(±1\) và \(±i\)