Bài 12 trang 144 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hai số phức \(z_1, z_2\). Biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1. z_2\) là hai số thực. Chứng minh rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Hướng dẫn giải

Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\). Khi đó \({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - az + b = 0\).

Lời giải chi tiết

Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\)

Khi đó, \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình  

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - z.{z_2} - z.{z_1} + {z_1}{z_2} = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - az + b = 0
\end{array}\)

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.