Bài 26 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Xác định \(a\) và \(b\) để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\) và \(B\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(A(2; -2)\) và \(B(-1; 3)\);       b) \(A(-4; -2)\) và \(B(2; 1)\);

c) \(A(3; -1)\) và \(B(-3; 2)\);       d) \(A(\sqrt{3}; 2)\) và \(B(0; 2)\).

Hướng dẫn giải

Xác định \(a,\ b\) để đồ thị hàm số \(y=ax+b\) đi qua hai điểm \(A,\ B\).

+) Lần lượt thay tọa độ của \(A,\ B\) vào \(y=ax+b\) thì được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(a,\ b\).

+) Giải hệ phương trình này, ta tìm được \(a,\ b\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y=ax+b\) \((1)\)

Vì đồ thị hàm số đi qua \(A(2; -2)\), thay \(x=2,\ y=-2\) vào \((1)\), ta được: \(-2=2a + b\).

Vì đồ thị hàm số đi qua  \(B(-1; 3)\), thay \(x=-1,\ y=3\) vào \((1)\), ta được: \(3=-a + b\).

Ta có hệ phương trình ẩn là \(a\) và \(b\).

\(\left\{\begin{matrix} 2a + b = -2 & & \\ -a + b = 3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a  = -5 & & \\ -a + b = 3 & & \end{matrix}\right. \).

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a  = \dfrac{-5}{3} & & \\ - b = a+3 & & \end{matrix}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a  = \dfrac{-5}{3} & & \\ b = \dfrac{-5}{3}+3 & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{5}{3} & & \\ b = \dfrac{4}{3}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \( a = -\dfrac{5}{3}\) và \( b = \dfrac{4}{3} \).

b)

Vì đồ thị hàm số đi qua \(A(-4; -2)\), thay \(x=-4,\ y=-2\) vào \((1)\), ta được: \(-2=-4a + b \).

Vì đồ thị hàm số đi qua \(B(2; 1)\), thay \(x=2,\ y=1\) vào \((1)\), ta được: \(1=2a + b\).

Ta có hệ phương trình ẩn là \(a,\ b\):

\(\left\{\begin{matrix} -4a + b = -2 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -6a = -3 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\) 

⇔ \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{2} & & \\  b = 1-2a & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 1-2.\dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2};\ b=0\).

c) Vì đồ thị hàm số đi qua \(A(3; -1)\), thay \(x=3,\ y=-1\) vào \((1)\), ta được: \(-1=3a + b\)

Vì đồ thị hàm số đi qua \(B(-3; 2)\), thay \(x=-3,\ y=2\) vào \((1)\), ta được: \(2=-3a + b\).

Ta có hệ phương trình ẩn \(a,\ b\):

\(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ -3a + b = 2& & \end{matrix}\right.\)  ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ 2b = 1& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a =-1 -b & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a =-1 -\dfrac{1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a =\dfrac{-3}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} a =\dfrac{-1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=\dfrac{-1}{2},\ b = \dfrac{1}{2}\).

d) Vì đồ thị hàm số đi qua \(A(\sqrt{3}; 2)\), thay \(x= \sqrt 3,\ y=2\) vào \((1)\), ta được: \(2= \sqrt{3}a + b \).

Vì đồ thị hàm số đi qua \(B(0; 2)\), thay \(x=0,\ y=2\) vào \((1)\), ta được:  \(2= 0 . a + b \).

Ta có hệ phương trình ẩn là \(a,\ b\).

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ 0. a + b = 2& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = 0 & & \\ b = 2 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=0,\ b=2\).

loigaihay.com