Bài 23 trang 19 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

+) Trừ vế với vế của phương trình \((1)\) cho phương trình \((2)\) ta được phương trình bậc nhất một ấn (ẩn \(y\).)

+) Giải phương trình một ẩn tìm được.

+) Thay nghiệm của phương trình một ẩn trên vào phương trình \((1)\) rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết

Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2),  ta được:

\((1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 5-3\)

\(⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2\)

\( \Leftrightarrow -2\sqrt{2}y = 2\)

\(\Leftrightarrow  y = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}}\)

\( \Leftrightarrow  y =\dfrac{-\sqrt{2}}{2} \)   \((3)\)

Thay \((3)\) vào \((1)\) ta được:

\( (1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\dfrac{-\sqrt{2}}{2} = 5\)

\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt 2 . \sqrt 2}{2} = 5\)

\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + 1 = 5\)

\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x =5- \dfrac{-\sqrt{2}}{2} - 1 \)

\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x  = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{(8 + \sqrt{2}).(1-\sqrt 2)}{2(1 + \sqrt{2})(1- \sqrt 2)}\)

\(\Leftrightarrow x =  \dfrac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{2(1 - 2)}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{6 - 7\sqrt{2}}{-2}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \( {\left(\dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}; \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right)}\)