Bài 24 trang 55 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai hàm số bậc nhất \(y = 2x + 3k\)  và  \(y = (2m + 1)x + 2k - 3\).

Tìm điều kiện đối với \(m\) và \(k\) để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau;

b) Hai đường thẳng song song với nhau;

c) Hai đường thằng trùng nhau.

Hướng dẫn giải

+) Điều kiện để hàm số \(y=ax+b\) là hàm số bậc nhất là \((a \ne 0)\)

+) Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\):

       \((d)\) cắt \((d')  \Leftrightarrow a \ne a'\)

       \((d)\) // \((d')  \Leftrightarrow a = a'\) và \(b \ne b'\)

       \((d)\) \(\equiv\) \((d') \Leftrightarrow  a = a'\)  và \(b=b'\)

Lời giải chi tiết

 Ta có: 

      \((d_{1}) \)  \(y = 2x + 3k \Rightarrow \left\{ \matrix{
{a} = 2 \hfill \cr
{b} = 3k \hfill \cr} \right.\)

      \((d_{2})\)   \(y = \left( {2m + 1} \right)x + 2k - 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{
{a'} = 2m + 1 \hfill \cr
{b'} = 2k - 3 \hfill \cr} \right.\)

Hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất  khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
a' \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 \ne 0 \hfill \cr
2m + 1 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 \ne 0 \hfill \cr
2m \ne - 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 \ne 0 (luôn\ đúng) \hfill \cr
m \ne \dfrac{-1}{2} \hfill \cr} \right.\)

a) Hai đường thẳng cắt nhau:

            \((d_{1}) \) cắt \((d_{2}) \Leftrightarrow a \ne a'\)

                                   \(\Leftrightarrow 2\neq 2m+1\)

                                   \(\Leftrightarrow 2-1 \neq 2m\)

                                   \(\Leftrightarrow 1 \ne 2m\)

                                   \(\Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\)

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất \(m \ne  \pm \dfrac{1}{2}\).

b) Hai đường thẳng song song:

             \((d_{1})  // (d_{2}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=a' \\ b\neq b' \end{matrix}\right.\)

                               \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k\neq 2k-3 \end{matrix}\right.\)

                               \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3k-2k\neq -3 \end{matrix}\right.\)

                               \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2} (thỏa\ mãn)\\ k\neq -3 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) và \( k \ne -3\) thì hai đồ thị trên song song.

c) Hai đường thẳng trùng nhau:

  \((d_{1})\) \(\equiv\)  \((d_{2}) \Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{matrix} a=a' \\ b=b' \end{matrix} \right.\)

                       \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k= 2k-3 \end{matrix}\right.\)

                       \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3-2k= -3 \end{matrix}\right.\)

                       \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m=1 \\ k=-3 \end{matrix}\right.\)

                       \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2}(tm) \\ k= -3 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) và \(k=-3\) thì đồ thị hai hàm số trên trùng nhau.