20 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức độ vận dụng cao

Câu 1 : Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm O và cạnh bằng a, \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Gọi I, J lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,CDD'C'\). Biết \(AI = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2},\,AA' = 2a\) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối tứ diện \(AOIJ\).

A \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{64}}\).

B \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{48}}\).

C \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}\).

D \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{192}}\).

Câu 2 : Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng thay đổi chứa \(BG\) và cắt \(AC,\,\,AD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\) là

A \(\dfrac{3}{8}\)

B \(\dfrac{4}{9}\)

C \(\dfrac{1}{2}\)

D \(\dfrac{5}{9}\)

Câu 3 : Cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(18\). Gọi \({A_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\); \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) sao cho góc giữa \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({60^0}\). Các đường thẳng qua \(B,\,\,C,\,\,D\) song song với \(A{A_1}\) cắt \(\left( P \right)\) lần lượt tại \({B_1},\,\,{C_1},\,\,{D_1}\). Thể tích khối tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) bằng?

A \(12\sqrt 3 \)

B \(18\)

C \(9\sqrt 3 \)

D \(12\)

Câu 4 : Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\). Tìm số \(r > 0\) sao cho tồn tại điểm \(J\) nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\)?

A \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

B \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Câu 5 : Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Điểm \(I\) thuộc đoạn \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNI} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần, phần chứa đỉnh \(S\) có thể tích bằng \(\dfrac{7}{{25}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(\dfrac{{IA}}{{IS}}\)?

A \(\dfrac{5}{3}\)

B \(\dfrac{2}{3}\)

C \(\dfrac{3}{2}\)

D \(\dfrac{3}{5}\)

Câu 6 : Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \). Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.ABC\)

A \(3\)

B \(2\sqrt 2 \)

C \(2\sqrt 3 \)

D \(4\)

Câu 7 : Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, \(AD\) song song với \(BC\), \(AD = 2BC\). Gọi \(E\), \(F\) là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB\) và \(AD\) sao cho \(\dfrac{{3AB}}{{AE}} + \dfrac{{AD}}{{AF}} = 5\) (\(E,\,\,F\) không trùng với \(A\)), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp \(S.BCDFE\) và \(S.ABCD\) là:

A \(\dfrac{5}{4}\)

B \(\dfrac{4}{3}\)

C \(\dfrac{{17}}{{12}}\)

D \(\dfrac{7}{6}\)

Câu 8 : Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh bằng \(2\), \(\angle BAD = {60^0}\), \(SA = SC\) và tam giác \(SBD\) vuông cân tại \(S\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(AE\) và cắt hai cạnh \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Thể tích lớn nhất \({V_0}\) của khối đa diện \(ABCDNEM\) bằng:

A \({V_0} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\)

B \({V_0} = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{{21}}\)

C \({V_0} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{7}\)

D \({V_0} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{9}\)

Câu 9 : Cho tứ diện \(ABCD\)có \(AB = a\sqrt 6 ,\) tam giác \(ACD\) đều, hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) trùng với trực tâm \(H\) của tam giác \(BCD,\) mặt phẳng \(\left( {ADH} \right)\)tạo với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\)một góc \({45^0}.\) Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD.\)

A \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

B \(\dfrac{{27{a^3}}}{4}\)

C \(\dfrac{{9{a^3}}}{4}\)

D \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

Câu 10 : Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(MB = 2MB'\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC'\) cắt các cạnh \(DD'\), \(DC\), \(BC\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện \(CPQMNC'\).Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).

A \(\dfrac{{31}}{{162}}\)

B \(\dfrac{{35}}{{162}}\)

C \(\dfrac{{34}}{{162}}\)

D \(\dfrac{{13}}{{162}}\)

Câu 11 : Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

A \(2\sqrt 6 {a^3}\)

B \(8{a^3}\)

C \(\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}\)

D \(\dfrac{{7{a^3}}}{{12}}\)

Câu 12 : Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Xét điểm \(M\) thay đổi trên mặt phẳng \(SCD\) sao cho tổng \(Q = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + M{S^2}\) nhỏ nhất. Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) và \({V_2}\) là thể tích của khối chóp \(M.ACD\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\) bằng

A \(\dfrac{{11}}{{140}}\)

B \(\dfrac{{22}}{{35}}\)

C \(\dfrac{{11}}{{70}}\)

D \(\dfrac{{11}}{{35}}\)

Câu 13 : Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\), tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), tam giác \(SAC\) cân tại \(S\). Biết \(AB = 2a\), đường thẳng \(SB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \({45^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:

A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {10} }}{2}\)

B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {10} }}{6}\)

C \({a^3}\sqrt 5 \)

D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\)

Câu 14 : Cho hình chóp \(S.ABC\), đáy là tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\sqrt 5 \), \(AC = 2BC\sqrt 2 \), hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(O\) của cạnh \(AC\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng 2. Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(\alpha \) thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(a\) là số nguyên tố. Tổng \(a + b\) bằng:

A \(6\)

B \(5\)

C \(7\)

D \(4\)

Câu 15 : Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A.\) Cạnh \(BC = 2a\) và \(\angle ABC = {60^0}.\) Biết tứ giác \(BCC'B'\) là hình thoi có \(\angle B'BC\) nhọn. Mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) góc \({45^0}.\) Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:

A \(\dfrac{{\sqrt 7 {a^3}}}{7}\)

B \(\dfrac{{3\sqrt 7 {a^3}}}{7}\)

C \(\dfrac{{6\sqrt 7 {a^3}}}{7}\)

D \(\dfrac{{\sqrt 7 {a^3}}}{{21}}\)

Câu 16 : Cho hình chóp \(S.ABC\), đáy là tam giác \(ABC\) có \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \) và \(\angle CAB = {135^0}\), tam giác \(SAB\) vuông tại \(B\) và tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

B \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)

C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

Câu 17 : Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB = 2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'C'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng:

A \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

B \(\dfrac{{7\sqrt 6 {a^3}}}{{24}}\)

C \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{6}\)

D \(\dfrac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Câu 18 : Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trọng tâm các mặt bên SAB, SBC, SCD và SDA. Thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M, N, P, Q, B và D bằng

A \(9\)

B \(\dfrac{{50}}{9}.\)

C \(30\)

D \(\dfrac{{25}}{3}.\)

Câu 19 : Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\)

B \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{12}}\)

C \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{4}\)

D \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{6}\)

Câu 20 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa AP và cắt SD, SB lần lượt tại M và N. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\).

A \(\dfrac{3}{8}\)

B \(\dfrac{1}{3}\)

C \(\dfrac{2}{3}\)

D \(\dfrac{1}{8}\)

20 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện mức đ...