Vecto trong không gian lớp 11

Vecto trong không gian lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chi`a sẻ với các bạn về lý thuyết véc tơ trong không gian lớp 11!

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa:

- Vecto trong không gian được hiểu là một đoạn thẳng có hướng xác định trong không gian. Ký hiệu của vecto \(\overrightarrow{AB}\) có nghĩa là điểm đầu của vecto là A và điểm cuối của vecto là B. Bên cạnh đó ta có thể kí hiệu véc to đơn gian như sau: \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},...\)

- Góc giữa 2 vecto trong không gian cũng được xác định tương tự như góc giữa 2 đường thẳng và 2 mặt phẳng.

- Công thức tính độ dài vectơ trong không gian: Với \(\overrightarrow {u}=(a;b;c)\), để tính độ dài cho vecto u ta có công thức sau:

\(|\overrightarrow {u}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

2. Quy tắc:

Trong mặt phẳng không gian ta tìm ra hai quy tắc quan trọng về vecto mà bạn cần biết:

- Quy tắc về ba điểm bất kỳ: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) hoặc ta có \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\).

- Quy tắc về hình bình hành: Đối với một hình bình hành bất kỳ ABCD ta sẽ có: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

- Trung tuyến: Trong một tam giác bất kyfy cho trước ABCD ta lấy trung điểm M của BC thì tính chất luôn đúng với vecto như sau: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

- Quy tắc về trọng tâm: Cũng tương tự như quy tắc về trung tuyến, ta lấy trọng tâm G cho tam giác thì: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

- Quy tắc về hình hộp ABCD.A'B'C'D' thì ta sẽ có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\).

Bài tập trắc nghiệm vecto trong không gian

3. Định lý:

Trong mặt phẳng không gian gồm có vecto ta có quy tắc về sự đồng đẳng và điều kiện cần thiết đối với ba vecto để chúng được coi là đồng đẳng như sau:

- Định nghĩa: Ba vecto nếu đồng đẳng sẽ thỏa mãn các điều kiện về tính song song giữa chúng với một mặt phẳng chung như nhau.

- Các định lý thỏa mãn định nghĩa:

+ Định lý 1: Cho lần lượt ba vecto như sau \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\), trong đó vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) sẽ không cùng phương hướng. Điều kiện cần và đủ để ba vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng đẳng ta có các số m, n sao cho thỏa mãn \(\overrightarrow {c}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b}\). Hơn nữa m và n là duy nhất.

+ Định lý 2: Nếu \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\), là ba vecro không đồng phẳng thì với mỗi vecto \(\overrightarrow {d}\)ta sẽ tìm được các điểm m, n, p sao cho thỏa mãn \(\overrightarrow {d}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b}+p\overrightarrow {c}\). Hơn nữa các số m, n , p phải là các hệ số xác định duy nhất.

II. Bài tập vectơ trong không gian có lời giải

Bài 1: Với hình chóp bất kỳ cho trước S.ABCD ta có đáy là hình chữ nhật ABCD. CM công thức sau: \(\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2\).

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có:

\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OD}|\).

\(\overrightarrow{SA}^2=(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB})^2=\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+2\overrightarrow{SO}.\overrightarrow{OA}(1)\)

\(\overrightarrow{SC}^2=(\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{SC})^2=\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OC}^2+2.\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{OC}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OC}^2+2.\overrightarrow{SO}.(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\)

\(= 2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OC}^2(vì \ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0})\)

Tương tự ta có \(\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2=2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OD}^2\)

Từ đó suy ra: \(\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2\)

Bài 2: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' ta có tất cả các mặt của hình hộp đều ở dạng hình thoi có cạnh là a và các góc \(BAA'=BAD=DAA'=60^0.\)Tính độ dài đường chéo AC'.

Lời giải:

Đặt \(\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {b},\overrightarrow {AA'}=\overrightarrow {c}\)thì:

\(|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|=|\overrightarrow {c}|=a,(\overrightarrow {a},\overrightarrow {b})=(\overrightarrow {b},\overrightarrow {c})=(\overrightarrow {c},\overrightarrow {a})=60^0\)

Ta có \(\overrightarrow {AC'}^2=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}.\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AC'}^2=\overrightarrow {a}^2+\overrightarrow {b}^2+\overrightarrow {c}^2+2\overrightarrow {a}\overrightarrow {b}+2\overrightarrow {b}\overrightarrow {c}+2\overrightarrow {c}\overrightarrow {a}\)

\(=3a^2+2|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|.cos60^0+2|\overrightarrow {b}||\overrightarrow {c}|.cos60^0=6a^2\Rightarrow AC'=a\sqrt6\).

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về lý thuyết vecto trong không gian trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!