Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc - Toán 11

  A. TÓM TẮT KIẾN THỨC.

  1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

  - Góc giữa hai đường véctơ trong không gian:

  Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) \(\vec{u},\vec{v}\) là góc \(BAC\) với \(\vec{AB}=\vec{u}\); \(\vec{BC}=\vec{v}\) (h.3.14)

  - Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 

  Cho hai vectơ khác vectơ không \(\vec{u},\vec{v}\) :

  Biểu thức \(\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}|.|\vec{v}|.cos(\vec{u,\vec{v}})\) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) . 

  Nếu \(\vec{u}\) = \(\vec{0}\) hoặc \(\vec{v}\) = \(\vec{0}\) thì ta quy ước \(\vec{u}\) . \(\vec{v}\) = \(\vec{0}\).

  2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

  - Vectơ \(\vec{a}\) khác vectơ- không, được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của \(\vec{a}\) song song hoặc trùng với \(d\).

  - Nếu \(\vec{a}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k\(\vec{a}\)  (\(k ≠ 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của d.

  - Một đường thẳng \(d\) trong không gian hoàn toàn xác định khi biết một điểm và vectơ chỉ phương của nó.

  - Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.

  3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

  Định nghĩa:

  Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với \(a\) và \(b\) (h.3.15)

  Chú ý:

  - Điểm \(O\) có thể lấy trên một trong hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

  - Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá.

  - Nếu \(\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}\) lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b và (\(\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}) = α\) thì góc \((a; b) = α\)  nếu \(0<α ≤ 90^0\) và bằng \(180^0- α\) nếu \(α > 90^0\).

  4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

  Định nghĩa:

  Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^0\)

  Nhận xét:

  - Nếu\(\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}\) lần lượt là các vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) thì \(a ⊥ b ⇔\)\(\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}= 0\)  .

  - Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

  - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

  Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng \(a, b\) chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:

  - Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng \(a, b\); đưa vào một tam giác, sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cô- sin).

  - Lấy các vectơ \(\vec{u},\vec{v}\) cùng phương với \(a, b\); biểu diễn \(\vec{u},\vec{v}\) qua các vectơ đã biết độ dài và góc, tính cos(\(\vec{u},\vec{v}\)) rồi suy ra góc \((a; b)\).