Bài 7 trang 98 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: 

   \(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\\\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \\\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA =\)\(\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-cos^{2}A}\)

           \(=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left ( \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right )^{2}}\)

           \(=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.\)