Lý thuyết công thức nghiệm thu gọn đầy đủ nhất

Công thức nghiệm thu gọn là một phần kiến thức về Công thức nghiệm phương trình bậc hai thuộc chương IV nghiên cứu về phương trình bậc hai một ẩn. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài lý thuyết công thức nghiệm thu gọn và giải công thức nghiệm thu gọn đầy đủ nhất!

1. Lý thuyết về Công thức nghiệm thu gọn

Cho một phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\), \(b'\) được cho bằng biểu thức \(b'=2b\) và biệt thức \(\Delta'\) được cho bởi công thức sau: \(\Delta'\) = \(b^2-ac\). 

- Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị dương (\(\Delta'>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) thì số nghiệm của phương trình là hai và được tính bằng

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\)

- Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta'\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) thì số nghiệm của phương trình là một và được tính bằng:

\(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'}{a}\)

-  Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị âm (\(\Delta'<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ vô nghiệm

Chú ý:

- Cho một phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\) có thừa số a lớn hơn 0 (\(a>0\)). Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\) mà vô nghiệm (không có nghiệm) thì bất phương trình \(ax^2+bx+c>0\) sẽ luôn đúng với mọi giá trị của biến x.

- Các phương trình khuyến thừa số b hoặc số hạng tự do c có dạng như \(ax^2+bx=0\) hoặc \(ax^2+c=0\) nên giải dạng thông thường sẽ nhanh hơn là dùng các công thức với biệt thức \(\Delta\)

B. Giải toán 9 bài 5 công thức nghiệm thu gọn 

Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai dạng \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sau:

\(a,x^2-6x+5=0\)

\(b, x^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}=0\)

\(c, \sqrt{2}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}=0\)

Hướng dẫn giải bài tập dạng 1:

\(a,x^2-6x+5=0\)

Theo phương trình ta có: \(a=1\), \(b'=-3\), \(c=5\)

\(\Delta'\) = \(b^2-ac\) = \((-3)^2-5\) = \(9-5\) = \(4\) \(>0\)

Vì \(\Delta'\) \(>0\) nên phương trình \(x^2-6x+5=0\) sẽ nhận hai giá trị là nghiệm:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{3+\sqrt{4}}{1}\) = \(\)\(5\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{3-\sqrt{4}}{1}\) = \(1\)

Vậy \(x=5\) và \(x=1\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2-6x+5=0\)

\(b, x^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}=0\)

Theo phương trình ta có: \(a=1\), \(b'=-\sqrt{2}\), \(c=-\sqrt{3}\)

\(\Delta'\) = \(b^2-ac\)  = \((-\sqrt{2})^2+\sqrt{3}\) = \(2+\sqrt{3}\) \(>0\)

Vì \(\Delta'\) \(>0\) nên phương trình \( x^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}=0\) sẽ nhận hai giá trị là nghiệm:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}{1}\) = \(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{1}\) = \(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(c, \sqrt{2}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}=0\)

Theo phương trình ta có: \(a=\sqrt{2}\), \(b'=3\), \(c= -\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta'\) = \(b^2-ac\) = \(3^2+\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}\)  = \(9+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(>0\)

Vì \(\Delta'\) \(>0\) nên phương trình \(\sqrt{2}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}=0\) sẽ nhận hai giá trị là nghiệm:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{-3+\sqrt{9+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}{\sqrt{2}}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{-3-\sqrt{9+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}{\sqrt{2}}\)

Dạng 2: Biện luận tham số m và tìm nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số:

a, Cách làm

Biện luận m và tìm nghiệm theo các công thức nghiệm thu gọn với biệt thức \(\Delta \):

- Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị dương (\(\Delta'>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) thì phương trình sẽ nhận hai giá trị là nghiệm:

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\)

- Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta'\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) thì sẽ có nghiệm kép

\(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'}{a}\)

-  Nếu \(\Delta'\) nhận giá trị âm (\(\Delta'<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) thì phương trình không có nghiệm.

b, Bài tập ví dụ: Biện luận m và tìm nghiệm của các phương trình sau đây:

\(a, 2x^2+2mx-8\)

Theo phương trình ta có: \(a=2\), \(b'=m\), \(c=8\)

\(\Delta'\) = \(b^2-ac\) = \(m^2-16\) 

- Để số nghiệm của phương trình là hai nghiệm khác biệt => \(m^2-16\) \(>0\) <=> \(m^2>16\) <=> \(m >4\) hoặc \(m<-4\)

Vậy khi đó hai nghiệm của phương trình là 

\(x_{1}\) = \(\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{-m+\sqrt{m^-16}}{2}\)

\(x_{2}\) = \(\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta' }}{a}\) = \(\dfrac{-m-\sqrt{m^-16}}{2}\)

- Để số nghiệm của phương trình là một (nghiệm kép) thì \(m^2-16\) = \(0\) <=> \(m =4\) hoặc \(m=-4\)

Vậy khi đó một nghiệm kép của phương trình sẽ có dạng \(\dfrac{-m}{2}\)

- Để phương trình không có nghiệm (vô nghiệm) thì \(m^2-16\) \(<0\) <=> \(-4\leq m\leq 4\)

Tham khảo thêm >>>  Giải toán 9 bài 5 công thức nghiệm thu gọn

                                      Lý thuyết và bài tập các phương trình quy về công thức của phương trình bậc 2 một ẩn

Cunghocvui đã đem đến cho các bạn bài lý thuyết công thức nghiệm thu gọn và các các dạng bài tập toán lớp 9 bài 5 công thức nghiệm thu gọn thông qua bài giảng công thức nghiệm thu gọn. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì về bài công thức nghiệm thu gọn lớp 9, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!