Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai chuẩn nhất

Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 9 là một bài kiến thức lý thuyết quan trọng về giải phương trình thuộc chương IV Phương trình bậc hai một ẩn. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài lý thuyết và các dạng câu hỏi tự luận về phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 9. Hy vọng với những bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ giúp ích các bạn có thêm nhiều các giải phương trình!

A. Tóm tắt lý thuyết bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Khái niệm về phương trình trùng phương

- Nếu một phương trình được cho bởi một dạng là \(ax^4+bx+c=0\) với điều kiện của a là \(a\neq 0\) thì phương trình đó được gọi là phương trình trùng phương.

- Phương pháp giải phương trình trùng phương: Để giải phương trình trùng phương, ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ với biến \(x^2\) (điều kiện của ẩn phụ là luôn lớn hơn 0 hoặc bằng 0) để đưa biểu thức về được dạng của một phương bậc hai một ẩn.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.

Các bước để giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.

Bước 1: Xác định những điều kiện của ẩn để cho biểu thức có nghĩa.

Bước 2: Thực hiện quy đồng mẫu của hai phân thức rồi khử mẫu.

Bước 3: Với phương trình vừa được khử mẫu, ta thực hiện giải phương trình.

Bước 4: Với các giá trị của x vừa tìm được khi giải phương trình, kết hợp xét với điều kiện ở bước 1 rồi rút ra kết luận. Nếu giá trị thuộc vào miền xác định thì giá trị đó thỏa mãn nếu không thuộc thì là không thỏa mãn.

B. Bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai - Các dạng bài tập tự luyện thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình trùng phương quy về phương trình bậc hai 

a, Cách giải bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương đã cho có dạng là \(ax^4+bx^2+c=0\) với điều kiện của a là \(a\neq 0\), ta có thể giải bằng những cách như sau:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ với biến \(x^2\) với điều kiện của ẩn phụ là luôn lớn hơn 0 hoặc bằng 0 (\(t\geq 0\)). GIờ đây, phương trình được quy về dưới dạng là một phương trình bậc hai ẩn t: \(t^2+bt+c=0\) với điều kiện \(t\neq 0\).

- Bước 2: Bước phương trình mới theo cách đặt ẩn phụ, giải phương trình, xét những nghiệm thỏa mãn điều kiện \(t\geq 0\) và kết luận nghiệm.

b, Làm bài tập bài phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Hãy giải và kết luận nghiệm của các phương trình sau:

a, \(x^4-5x^2+6=0\)

b, \(2x^4+3x^2-5=0\)

c, \(\sqrt{2}x^4+4x^2+\sqrt{3}=0\)

d, \(x^4-4x^2+4=0\)

Hướng dẫn cách làm:

a, \(x^4-5x^2+6=0\)

Đặt \(x^2=t (t\geq 0)\). Phương trình bậc bốn một ẩn \(x^4-5x^2+6=0\) giờ có dạng là:

\(t^2-5t+6=0\) <=> (x-2)(x-3) = 0 <=> Hoặc t = 2 hoặc t = 3

Xét với điều kiện là \(t\geq 0\) cả hai giá trị 2 và 3 đề thỏa mãn, như vậy phương trình trùng phương \(x^4-5x^2+6=0\) có bốn nghiệm phân biệt:

Với t = 2 <=> \(x =\sqrt{2}\) hoặc \(x =-\sqrt{2}\)

Với t = 3 <=> \(x =-\sqrt{3}\) hoặc \(x =\sqrt{3}\)

b, \(2x^4+3x^2-5=0\)

Đặt \(x^2=t (t\geq 0)\). Phương trình bậc bốn một ẩn \(2x^4+3x^2-5=0\) giờ có dạng là:

\(2t^2+3t-5=0\) <=> (x-1)(2t+5) = 0 <=> Hoặc t = 1 hoặc \(t=\dfrac{-5}{2}\)

Xét với điều kiện là \(t\geq 0\) có 1 giá trị t = 1 thỏa mãn, như vậy phương trình trùng phương \(x^4-5x^2+6=0\) có 2 nghiệm phân biệt: \(x =1\) hoặc \(x =-1\)

c, \(\sqrt{2}x^4+4x^2+\sqrt{3}=0\)

Đặt \(x^2=t (t\geq 0)\). Phương trình bậc bốn một ẩn \(\sqrt{2}x^4+4x^2+\sqrt{3}=0\) giờ có dạng là:

\(\sqrt{2}t^2+4t+\sqrt{3}=0\)

\(\Delta '=4-\sqrt{6}>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(t_{1}= \dfrac{-2+\sqrt{4-\sqrt{6}}}{\sqrt{2}}\), \(t_{2}= \dfrac{-2-\sqrt{4-\sqrt{6}}}{\sqrt{2}}\)

Ta có thể thấy cả hai nghiệm của t vừa tìm được không thỏa mãn điều kiện \(t\geq 0\). Vậy phương trình vô nghiệm

d, \(x^4-4x^2+4=0\)

Đặt \(x^2=t (t\geq 0)\). Phương trình bậc bốn một ẩn \(x^4-4x^2+4=0\) giờ có dạng là:

\(t^2-4t+4=0\) <=> \((t-2)^2=0\) <=> t = 2

Xét với điều kiện là \(t\geq 0\), giá trị t = 2 thỏa mãn. Như vậy phương trình trùng phương \(x^4-4x^2+4=0\) có 2 nghiệm phân biệt: \(x =\sqrt{2}\) và \(x =-\sqrt{2}\)

Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình dạng tích các thừa số

a, Cách giải các phương trình đưa về phương trình dạng tích các thừa số

Phương trình dạng đã cho có dạng là (x + a)(x+b)(x+c)(x+d) = m với điều kiện là a + b = c + d, ta có thể giải bằng những cách như sau:

Bước 1: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ với ẩn t là \(t= x^2+(a +b)x+e\).

b, Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Giải một số phương trình dạng tích sau:

a, \((x-1)(x-2)(x+4)(x+5)=112\)

b, \(x(x+1)(x+2)(x+3)=1\)

c, \(x(x^2-4)(x+4)=0\)

Hướng dẫn cách làm:

a, \((x-1)(x-2)(x+4)(x+5)=112\)

Theo đầu bài, ta có: \((x-1)(x+4)(x-2)(x+5)=112\)

<=> \((x^2+3x-4)(x^2+3x-10)=112\)

Đặt ẩn phụ với \(t=x^2+3x-7\), phương trình \((x^2+3x-4)(x^2+3x-10)=112\) được đưa về dạng sau:

\((t+3)(t-3)=112\) <=> \(x^2-9=112\) <=> \(t_{1}=11, t_{2}=-11\)

Với \(t_{1}=11\) ta có \(x^2+3x-7=11\) <=> \(x^2+3x-18=0\) <=> \(x=-6\) hoặc \(x=3\)

Với \(t_{2}=-11\) ta có \(x^2+3x-7=-11\) <=> \(x^2+3x+4=0\) (\(\Delta <0\)). Vậy phương trình vô nghiệm.

b, \(x(x+1)(x+2)(x+3)=1\)

Theo dữ kiện đề bài, ta thấy 0 + 3 = 1 + 2, do vậy phương trình dạng tích \(x(x+1)(x+2)(x+3)=1\) được đưa về dưới dạng sau:

\((x^2+3x)(x^2+3x+2)=1\)

Đặt ẩn phụ với \(t=x^2+3x\), phương trình \((x^2+3x)(x^2+3x+2)=1\) được đưa về dạng:

\(t(t+2)=1\) <=> \(t^2+2t-1=0\)

\(\Delta '=2>0\) => Hai nghiệm \(t_{1}= -1+\sqrt{2},t_{2}=-1-\sqrt{2}\)

Với \(t_{1}= -1+\sqrt{2}\), ta có phương trình \(x^2+3x+1-\sqrt{2}=0\) 

\(\Delta =9-4(1-\sqrt{2})=5+4\sqrt{2} >0\)

=> \(x=\dfrac{-3-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\) và \(x=\dfrac{-3+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\)

Với \(t_{2}=-1-\sqrt{2}\) ta có phương trình \(x^2+3x+1+\sqrt{2}=0\) 

\(\Delta =9-4(1+\sqrt{2})=5-4\sqrt{2} <0\). Vậy phương trình vô nghiệm.

c, \(x(x^2-4)(x+4)=0\)

Ta có \(x(x^2-4)(x+4)=0\) <=> \(x(x+2)(x-2)(x+4)-1=0\) <=> (\((x^2+2x)(x^2+2x-8)-1=0\)

Đặt ẩn phụ với \(t=x^2+2x\), phương trình \((x^2+2x)(x^2+2x-8)-1=0\) được đưa về dạng:

\(t(t-8)-1=0\) <=> \(t^2-8t-1=0\)

\(\Delta =68>0\) => Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(t_{1}= 4+\sqrt{17},t_{2}=4-\sqrt{17}\)

Với \(t_{1}= 4+\sqrt{17}\), ta có phương trình \(x^2+2x-4-\sqrt{17}=0\) 

\(\Delta '=1+4+\sqrt{17}=5+\sqrt{17} >0\)

=> \(-1+\sqrt{5+\sqrt{17}}\) và \(-1-\sqrt{5+\sqrt{17}}\)

Với \(t_{2}=4-\sqrt{17}\) ta có phương trình \(x^2+2x-4+\sqrt{17}=0\) 

\(\Delta '=1+4-\sqrt{17}=5-\sqrt{17} >0\)

=> \(-1+\sqrt{5-\sqrt{17}}\) và \(-1-\sqrt{5-\sqrt{17}}\) 

Dạng 3: Giải phương trình có chứa căn thức

a, Cách giải phương trình có chứa căn thức

Bước 1: Tìm điều kiện trong căn để căn thức có nghĩa.

Bước 2 : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để làn mất căn thức hoặc lũy thừa hai vế để mất căn thức.

Bước 3: Giải phương trình, xét điều kiện nghiệm và kết luận.

b, Luyện tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Giải phương trình sau:

a, \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x^2-1}\)

Điều kiện để biểu thức có nghĩa \(x^2-1> 0\) <=> hoặc x > 1 hoặc x < -1

Dùng phương pháp quy đồng mẫu số và trục mẫu số ta có: 

\(1+(\sqrt{x^2-1})^2=0\) <=> \(1+x^2-1=0\) <=> \(x^2=0\) <=> x = 0

Xét với điều kiện để biểu thức có nghĩa, giá trị x = 0 không thỏa mãn. Vì vậy phương trình vô nghiệm

b, \(\sqrt{x}-x=2\sqrt{x}+5\)

Đặt ẩn phụ với \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\), phương trình \(\sqrt{x}-x=2\sqrt{x}+5\) được đưa về dạng:

\(t-t^2=2t+5\) <=> \(t^2+t+5=0\)

\(\Delta =1-20<0\). Vì vậy phương trình vô nghiệm.

Tham khảo thêm >>> Giải bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 9

Với bài viết phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 9, Cunghocvui đã đem lại cho các bạn bài lý thuyết và các dạng bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 9 đầy đủ nhất. Nếu có đóng gì cho bài viết bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai, hãy để lại comment nhé!