Chuyên đề về căn bậc hai và phương pháp giải các dạng bài liên quan

Chuyên đề về căn bậc hai và phương pháp giải các dạng bài liên quan

Bài giảng hôm nay bao gồm định nghĩa và công thức tổng quát về căn thức bậc hai. Bên cạnh đó là những dạng mà bạn cần lưu ý để xử lý các bài toán có chứa căn thức bậc hai. Mời các bạn cũng theo dõi!

I. Cách tính căn bậc hai

Căn bậc 2 của một số a là một số x sao cho \( x^2 = a\). Ví dụ, 4 và −4 là căn bậc 2 của 16 vì \(4^2 = (−4)^2 = 16.\)

Tổng quát: \(\forall A\ge 0, B\ge 0 \ thì \ \sqrt A=B \Leftrightarrow B^2 = A\)

Xem thêm:

• Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
• Bảng Căn bậc hai

II. Tính căn bậc hai của số phức

- Theo phương pháp thông thường:

• Số phức w là một số thực

+ Nếu w<0 thì w có hai căn bậc 2 là \(±i\sqrt {|w|}\)
+ Nếu w=0 thì w có đúng một căn bậc 2 là 0.
+ Nếu w>0 thì w có hai căn bậc 2 là \(±\sqrt w\)

Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của −1 là i và −i. Hai căn bậc 2 của −9 là 3i và −3i..

• Số phức có dạng \(w=a+bi(a,b∈R,b≠0)\)

Gọi \(z=x+yi(x,y∈R)\) là một căn bậc hai của w \(\Leftrightarrow   z^2=w\), tức là:
\((x+yi)^2=a+bi(x+yi)^2=a+bi ⇔x^2–y^2+2xyi=a+bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – {y^2} = a\\ 2xy = b \end{array} \right.\)

Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x+yi của số phức w=a+bi.

Ví dụ 2: Tính căn bậc 2 của số phức sau: \(w=-5+12i\)

Gọi \(z=x+yi (x,y\in R)\) là căn bậc 2 của số phức trên ta có:

\(z^2=w \Leftrightarrow (x+yi)^2=-5+12i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – {y^2} = – 5\\ 2xy = 12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4\\ y = \frac{6}{x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = – 2\\ y = – 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy \(w=-5+12i\) có hai căn bậc 2 là 2+3i và -2+3i.

- Cách tìm căn bậc 2 của số phức bằng máy tính Casio:

III. Các dạng bài tập

Bài 1: Tính các căn bậc 2 không sử dụng máy tính bỏ túi:

\(\sqrt A^2-|A|=\left\{\begin{array}{cc}A \ nếu \ A\ge 0\\-A \ nếu \ A<0\end{array}\right.\)

Bài 2: Liên hệ giữa phép nhân và phép khia trương

Với \(A\ge 0; B\ge 0\ thì \ \sqrt A.\sqrt B=\sqrt {A.B}\)

Với \(A\le 0;B\le 0 \ thì \ \sqrt{A.B}=\sqrt {-A}.\sqrt {-B}\)

Bài 3: Liên hệ giữa phép chia và phép khai trương

Với \(A\ge 0;B>0 \ thì \ \dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}=\sqrt {\dfrac{ A}{ B}}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\)

Với \(A\le 0; B<0 \ thì \ \sqrt{\dfrac{ A}{B}}=\dfrac{\sqrt {-A}}{\sqrt{- B}}\)

Bài 4: Tìm điều kiện xác địng và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

\(\dfrac{A}{B} \ xác \ định \ \Leftrightarrow B\neq 0\)

\(\sqrt M \ xác \ định \ \Leftrightarrow M\neq 0\)

Kết hợp biểu thức vừa chứa mẫu vừa chứa căn xác định khi mẫu # 0 và biểu thức trong căn \(\ge 0\).

Bài toán tìm điều kiện xác định (có nghĩa) và rút gọn biểu thức

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định nếu đề bài chưa cho.
• Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
• Bước 3: Quy đồng mẫu thức.
• Bước 4: Rút gọn

Bài tập: Căn bậc hai

Sau bài giảng vừa rồi bạn đã hiểu hơn về định nghĩa cũng như so sánh căn bậc hai hay các dạng toán về căn bậc hai lớp 9 chưa, hãy để lại bình luận cho chúng tôi biết nhé. Chúc các bạn đạt điểm số cao!