Bài 6 trang 68 SGK Hình học 12

Đề bài

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính \(AB\) với \(A(4 ; -3 ; 7),  B(2 ; 1 ; 3)\)

b) Đi qua điểm \(A = (5; -2; 1)\) và có tâm \(C(3; -3; 1)\)

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng AB/2.

b) Mặt cầu có tâm C và bán kính CA.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), thì mặt cầu có đường kính \(AB\), có tâm \(I\) và bán kính \(r =\frac{1}{2}AB=IA\).

Ta có : 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{7 + 3}}{2} = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 1;5} \right)\\AB = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 7} \right)}^2}} = 6 \Rightarrow R = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array}\)

Do vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) có dạng: \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}9\)        

b) Mặt cầu cần tìm có tâm \(C(3; -3; 1)\) và có bán kính \(R = CA = \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}5\).