Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\).

a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) và suy ra \(HB = HC = HD\).

Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn \(AH\).

b) Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết

a) Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.

Kẻ \(AH \bot (BCD)\) ta có: \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) (cạnh huyền - canh góc vuông)

\( \Rightarrow HB = HC = HD\) (các cạnh tương ứng).

Vậy \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BCD\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Do \(\Delta BCD\) nên \(BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);

Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\) .

Vậy \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)

b) Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)