Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Hướng dẫn giải

Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ta chứng minh đường thẳng đó vuông goc với bán kính tại 1 điểm nằm trên đường tròn.

Lời giải chi tiết

a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\)

\(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\)

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)

Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\)

\(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) 

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\)  

b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\)

Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\)

Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)

c) Ta có \(MA = MB = MC\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (\(∆MOO’\) vuông tại M)

Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // O'C.\)

Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\)

Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\)

Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’