Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12

Đề bài

Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và có $SA = a, AB = b, AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A, B, C, S$ có bán kính $r$ bằng:

(A) ${{2(a + b + c)} \over 3}$ ;                                (B) 2$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ ;

(C) ${1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ ;                (D) $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ .

Hướng dẫn giải

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định $I = \left( P \right) \cap d$, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết

 Tâm $I$ của mặt cầu đi qua $A,B,C,S$ là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và mặt phẳng trung trực của $SA$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trục đường tròn $Mx$ với $M$ là trung điểm của $BC$.

Bán kính mặt cầu $R=IA$ 

$MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}$, $AM={1\over 2} BC={1\over 2} \sqrt{b^2+c^2}$

Xét tam giác vuông $IAM$ có: $R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Chọn (C).